Ôn tập Toán tốt nghiệp THPT

Câu 52 đề cập đến một bài toán tổ hợp và hình học thú vị. Bé Minh cần tô màu các cạnh của 6 hình vuông đơn vị xếp thành hình chữ nhật bằng 3 màu sao cho mỗi hình vuông có đúng 2 màu và mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Bài toán này không chỉ đòi hỏi khả năng tư duy không gian để hình dung cách tô màu mà còn yêu cầu kỹ năng tổ hợp để tìm ra số cách tô màu thỏa mãn điều kiện. Đây là một ví dụ điển hình về bài toán đếm trong tổ hợp, liên quan mật thiết đến hình học. Độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng cao, cho thấy tính phức tạp của việc tìm kiếm các giải pháp hợp lệ. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi phải xét các trường hợp khác nhau và tìm ra một quy luật tổng quát để đếm số cách tô màu. Bài toán này rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin, và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách có hệ thống.

Câu 51 thuộc dạng bài toán đếm trong hình học tổ hợp. Cho tập hợp A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng, bài toán yêu cầu tìm n sao cho số tam giác có 3 đỉnh thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng nối 2 điểm thuộc A. Đây là một bài toán quen thuộc trong tổ hợp, đòi hỏi sự hiểu biết về công thức tổ hợp chập k của n phần tử (C(n,k)). Để giải quyết, cần thiết lập công thức tính số tam giác và số đoạn thẳng dựa trên số điểm n, sau đó giải phương trình để tìm n. Mức độ vận dụng thấp cho thấy bài toán này có thể giải quyết bằng kiến thức tổ hợp cơ bản và một chút suy luận logic. Tuy nhiên, việc thiết lập công thức và giải phương trình vẫn đòi hỏi sự chính xác và cẩn thận. Bài toán này giúp củng cố kiến thức về tổ hợp và rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán bằng phương pháp đại số.

Câu 88 là một bài toán xác suất liên quan đến một trò chơi cờ tướng. Hai người chơi ngang tài ngang sức, người thắng là người đầu tiên thắng 5 ván. Tại thời điểm người chơi thứ nhất thắng 4 ván và người thứ hai thắng 2 ván, bài toán yêu cầu tính xác suất người chơi thứ nhất thắng cuộc. Đây là một bài toán xác suất có điều kiện, cần tính xác suất người chơi thứ nhất thắng 1 ván trong 2 ván tiếp theo trước khi người chơi thứ hai thắng 3 ván. Mức độ vận dụng cao cho thấy bài toán này đòi hỏi khả năng vận dụng các công thức xác suất phức tạp, bao gồm cả xác suất có điều kiện và quy tắc nhân. Việc giải quyết bài toán này không chỉ đòi hỏi kiến thức về xác suất mà còn cần sự hiểu biết về quy tắc tính xác suất trong các trò chơi. Bài toán này giúp rèn luyện khả năng suy luận logic và áp dụng lý thuyết xác suất vào thực tiễn.

Câu 165 và 170 là hai bài toán liên quan đến hình học không gian, cụ thể là hình chóp. Câu 165 yêu cầu xác định mệnh đề đúng liên quan đến hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Câu 170 hỏi về giao tuyến của hai mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Cả hai câu hỏi này đều kiểm tra khả năng hình dung không gian, khả năng xác định mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Mức độ thông hiểu và vận dụng cao cho thấy bài toán đòi hỏi sinh viên không chỉ hiểu lý thuyết mà còn phải vận dụng linh hoạt để giải quyết các vấn đề cụ thể. Việc giải quyết các bài toán này yêu cầu người giải phải có kỹ năng vẽ hình không gian, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố hình học và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

Câu 202 thuộc dạng bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian. Cụ thể, bài toán đưa ra hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. Đây là một bài toán hình học không gian phức tạp, đòi hỏi người giải phải có khả năng hình dung không gian, xác định các vị trí điểm và đường thẳng trong hình chóp, và áp dụng các công thức tính khoảng cách trong không gian ba chiều. Mức độ vận dụng cao cho thấy bài toán này đòi hỏi khả năng tư duy không gian tốt, kỹ năng vận dụng các định lý và công thức hình học không gian một cách chính xác. Bài toán này giúp củng cố kỹ năng giải toán hình học không gian và rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn.

Câu 104 đưa ra một bài toán kết hợp giữa cấp số nhân và hình học. Bài toán cho một tam giác ABC cân tại A, với cạnh đáy BC, đường cao AH, và cạnh bên AB tạo thành một cấp số nhân. Yêu cầu là tìm công bội q của cấp số nhân này. Đây là một ví dụ về ứng dụng của cấp số nhân trong giải quyết bài toán hình học. Để giải bài toán, ta cần sử dụng định lý Pytago và tính chất của cấp số nhân để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác. Sau đó, giải phương trình để tìm công bội q. Mức độ vận dụng thấp cho thấy bài toán này chủ yếu kiểm tra khả năng vận dụng công thức cấp số nhân vào một ngữ cảnh hình học cụ thể. Bài toán này giúp người học củng cố kiến thức về cấp số nhân và hiểu cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán liên quan đến hình học.

Một phần của tài liệu đề cập đến cấp số nhân có công bội bằng 1, được biểu diễn là D(an). Tuy nhiên, không có bài toán cụ thể nào được đưa ra để minh họa ứng dụng của cấp số nhân này. Thông tin này chủ yếu cung cấp một khái niệm toán học, thể hiện một trường hợp đặc biệt của cấp số nhân, trong đó mọi số hạng đều bằng nhau. Điều này có thể được sử dụng như một nền tảng để hiểu rõ hơn về tính chất của cấp số nhân và sự khác biệt giữa nó với các cấp số khác. Việc nhắc đến cấp số nhân với công bội bằng 1 bổ sung thêm vào kiến thức lý thuyết về cấp số nhân, chuẩn bị cho những ứng dụng phức tạp hơn trong các bài toán khác.

Câu 371 là một bài toán tối ưu liên quan đến diện tích hình chữ nhật. Ban tổ chức cung cấp một đoạn dây dài 18m để tạo thành một hình chữ nhật. Bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất có thể của hình chữ nhật này. Đây là một bài toán tối ưu đơn giản, có thể giải bằng cách sử dụng kiến thức về hình chữ nhật và bất đẳng thức. Cụ thể, cần tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sao cho chu vi bằng 18m và diện tích đạt giá trị lớn nhất. Việc giải quyết bài toán này liên quan đến việc sử dụng các kỹ thuật tối ưu cơ bản, như đạo hàm để tìm cực trị của hàm số diện tích. Mức độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng cao, cho thấy yêu cầu về khả năng lập luận và tính toán chính xác.

Câu 370 đề cập đến một bài toán tối ưu trong ngữ cảnh thực tế. Một con cá hồi bơi ngược dòng 200km với vận tốc dòng nước là 8km/h. Năng lượng tiêu hao được mô tả bởi công thức E(v) = cv³t, với v là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên và c là hằng số. Bài toán yêu cầu tìm vận tốc v để năng lượng tiêu hao là nhỏ nhất. Đây là một bài toán tối ưu hóa hàm số một biến, cần tìm cực tiểu của hàm E(v). Để giải bài toán này, cần sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm điểm cực tiểu của hàm số. Mức độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng thấp, cho thấy đây là một bài toán tối ưu cơ bản, thường được giải quyết bằng cách tìm đạo hàm và cho đạo hàm bằng 0.

Câu 373 thuộc dạng bài toán tối ưu hình học. Bài toán mô tả việc chế tạo một cái thang bắc từ mặt đất, qua một bức tường cao 2m và cách tòa nhà 2m, và chạm vào tòa nhà. Yêu cầu là tìm chiều dài tối thiểu của thang. Đây là một bài toán tối ưu hình học có thể giải bằng cách sử dụng các định lý hình học và tính toán. Cần thiết lập một mô hình hình học để biểu diễn vấn đề, sau đó sử dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông để tìm chiều dài thang. Mức độ khó được đánh giá là mức độ vận dụng thấp cho thấy đây là một bài toán tối ưu cơ bản liên quan đến hình học, đòi hỏi người giải phải có khả năng hình dung không gian và ứng dụng các kiến thức hình học cơ bản.

Câu 375 là một bài toán tối ưu hóa chi phí. Ông Tâm muốn mua bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 1m³, đáy là hình chữ nhật với chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Giá kính là 500.000 đồng/m². Bài toán yêu cầu tìm kích thước bể cá để chi phí là nhỏ nhất. Đây là một bài toán tối ưu hóa hàm nhiều biến, đòi hỏi người giải phải thiết lập hàm chi phí dựa trên kích thước bể cá, sau đó sử dụng phương pháp đạo hàm riêng để tìm điểm cực tiểu của hàm chi phí. Mức độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng thấp, cho thấy việc giải quyết bài toán này chủ yếu dựa trên các kỹ thuật tối ưu cơ bản, như tìm đạo hàm và cho đạo hàm bằng 0.

Câu 379 là bài toán tối ưu trong kinh tế. Giám đốc nhà hát cần xác định giá vé để tối đa hóa lợi nhuận. Thông tin cho biết mối quan hệ giữa giá vé và số lượng khách hàng, cũng như lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm. Bài toán này đòi hỏi người giải phải xây dựng hàm lợi nhuận dựa trên giá vé, số lượng khách hàng, và lợi nhuận từ dịch vụ khác, sau đó tìm giá vé làm cho lợi nhuận đạt cực đại. Mức độ khó được đánh giá là mức độ vận dụng thấp, tuy nhiên yêu cầu người giải phải có khả năng xây dựng mô hình toán học từ ngữ cảnh thực tế, và vận dụng các kỹ thuật tối ưu cơ bản để tìm lời giải.

Câu 150 đưa ra một bài toán thực tế liên quan đến chuyển động của một vật. Vật chuyển động theo quy luật s = f(t) = -1/3t³ + 6t², với s là quãng đường (mét) và t là thời gian (giây). Bài toán yêu cầu tìm số lần vật đứng yên (vận tốc bằng 0) trong 15 giây đầu tiên. Đây là một bài toán liên môn, kết hợp giữa toán học và vật lý. Để giải quyết, cần tính đạo hàm của hàm quãng đường để tìm phương trình vận tốc v(t), sau đó giải phương trình v(t) = 0 để tìm các thời điểm vật đứng yên. Mức độ vận dụng thấp cho thấy bài toán này chủ yếu kiểm tra khả năng tính đạo hàm và giải phương trình. Bài toán này giúp người học vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến chuyển động.

Câu 370 đặt ra một bài toán tối ưu trong bối cảnh sinh học. Một con cá hồi bơi ngược dòng 200km, với vận tốc dòng nước là 8km/h. Năng lượng tiêu hao được cho bởi công thức E(v) = cv³t, với v là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên. Bài toán yêu cầu xác định vận tốc v để năng lượng tiêu hao là ít nhất. Đây là bài toán tối ưu hàm số một biến, đòi hỏi sử dụng phép tính đạo hàm để tìm cực tiểu của hàm năng lượng. Mức độ khó được đánh giá là mức độ vận dụng thấp, cho thấy đây là một ứng dụng cơ bản của phép tính đạo hàm trong giải quyết vấn đề thực tiễn. Bài toán này minh họa cách toán học được áp dụng để mô hình hóa và giải quyết vấn đề trong lĩnh vực sinh học.

Câu 373 là một bài toán hình học thực tế. Bài toán mô tả một cái thang bắc từ mặt đất, qua một bức tường, và chạm vào một tòa nhà. Biết chiều cao bức tường và khoảng cách giữa tường và tòa nhà, bài toán yêu cầu tính chiều dài tối thiểu của thang. Đây là một bài toán hình học phẳng, đòi hỏi khả năng vận dụng định lý Pytago và các kiến thức hình học khác để xây dựng phương trình và tìm ra lời giải. Mức độ vận dụng được đánh giá là thấp, cho thấy bài toán này chủ yếu kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức hình học cơ bản trong một ngữ cảnh thực tế. Bài toán này rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề bằng phương pháp hình học.

Câu 372 trình bày một bài toán về chuyển động của một vật. Vật chuyển động theo quy luật s = -t³ + 6t², với s là quãng đường (mét) và t là thời gian (giây). Bài toán yêu cầu tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất. Đây là bài toán liên môn, kết hợp giữa toán học và vật lý. Để giải quyết, cần tính đạo hàm của hàm quãng đường để tìm phương trình vận tốc, sau đó tìm cực đại của hàm vận tốc. Mức độ vận dụng được đánh giá là thấp, cho thấy đây là bài toán cơ bản về tìm cực trị của hàm số. Bài toán này giúp người học vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết bài toán thực tế liên quan đến chuyển động.

Câu 375 là một bài toán tối ưu trong thiết kế. Ông Tâm muốn làm bể cá hình hộp chữ nhật không nắp, có thể tích 1m³, đáy là hình chữ nhật với chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Giá kính là 500.000 đồng/m². Bài toán yêu cầu tìm kích thước bể cá để chi phí là nhỏ nhất. Đây là bài toán tối ưu hóa, cần thiết lập hàm chi phí dựa trên kích thước bể cá và sử dụng các kỹ thuật tối ưu để tìm giá trị nhỏ nhất. Mức độ khó là thấp, cho thấy bài toán này chủ yếu kiểm tra khả năng thiết lập mô hình toán học từ dữ kiện thực tế và sử dụng các kỹ thuật tối ưu cơ bản.

Câu 379 là một bài toán tối ưu trong kinh doanh. Giám đốc nhà hát cần xác định giá vé để tối đa hóa lợi nhuận, biết mối quan hệ giữa giá vé và số lượng khách hàng, cũng như lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm. Đây là bài toán tối ưu hóa hàm số, đòi hỏi người giải phải xây dựng hàm lợi nhuận dựa trên giá vé, số lượng khách hàng, và lợi nhuận từ dịch vụ khác. Sau đó tìm giá vé làm cho lợi nhuận đạt cực đại. Mức độ khó được đánh giá là thấp, nhưng đòi hỏi người giải phải hiểu được mối liên hệ giữa các yếu tố kinh tế và xây dựng được mô hình toán học từ bài toán thực tiễn.

Câu 376 mô tả một bài toán tối ưu về góc nhìn. Một màn hình chữ nhật được đặt ở độ cao nhất định, yêu cầu xác định vị trí đứng để góc nhìn lớn nhất. Bài toán này cần kiến thức về hình học và lượng giác để thiết lập hàm góc nhìn dựa trên khoảng cách đến màn hình, sau đó tìm cực đại của hàm số này. Mức độ vận dụng thấp, nhưng đòi hỏi người giải phải có khả năng mô hình hóa vấn đề và vận dụng các kiến thức hình học và lượng giác.

Câu 378 là một bài toán tối ưu chi phí trong kinh doanh. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí được cho bởi công thức C(x) = 0.0001x² - 0.2x + 10000 (vạn đồng), và chi phí phát hành mỗi cuốn là 4000 đồng. Yêu cầu tìm số lượng tạp chí xuất bản để chi phí trung bình cho mỗi cuốn là nhỏ nhất. Đây là bài toán tối ưu hàm số, cần tìm cực tiểu của hàm chi phí trung bình. Mức độ vận dụng thấp, nhưng đòi hỏi người giải phải hiểu và xử lý được công thức chi phí và tìm cực trị của hàm số.

Câu 1052 đề cập đến việc tính thể tích của một khối chóp cụ thể. Cho hình chóp đều S.ABCD với cạnh đáy a và góc giữa mặt bên và đáy là 60 độ. Một mặt phẳng chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC và SD tại M và N. Bài toán yêu cầu tính thể tích khối chóp S.ABMN. Đây là một bài toán hình học không gian đòi hỏi khả năng hình dung không gian và vận dụng các công thức tính thể tích khối chóp. Để giải quyết bài toán này, cần xác định các yếu tố cần thiết để tính thể tích, bao gồm diện tích đáy và chiều cao của khối chóp S.ABMN. Việc xác định chiều cao đòi hỏi sử dụng kiến thức về hình học không gian và lượng giác. Mức độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng cao, cho thấy tính phức tạp của bài toán và yêu cầu về sự hiểu biết sâu sắc về hình học không gian.

Câu 1066 liên quan đến việc tính tỉ số thể tích giữa hai phần của một khối chóp. Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có CD = 4AB. Một mặt phẳng đi qua CD cắt SA và SB tại M và N. Bài toán cho biết tỉ số thể tích giữa phần chứa đỉnh S và phần còn lại là 1:2, yêu cầu tìm tỉ số SM/SA. Đây là một bài toán về tỉ số thể tích giữa các khối chóp, đòi hỏi người giải phải vận dụng các định lý về tỉ số thể tích trong hình học không gian. Để giải quyết bài toán này, cần sử dụng các tính chất về tỉ số thể tích của các khối chóp có chung đỉnh và cùng đáy. Mức độ khó của bài toán được đánh giá là mức độ vận dụng cao, cho thấy bài toán đòi hỏi khả năng vận dụng linh hoạt các định lý hình học không gian và kỹ năng lập luận chặt chẽ.

Câu 1070 là một bài toán tính thể tích khối đa diện phức tạp. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (MNE), với M, N là trọng tâm của tam giác ABD, ABC, và E là điểm đối xứng của B qua D, chia tứ diện thành hai phần. Bài toán yêu cầu tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A. Đây là một bài toán hình học không gian đòi hỏi khả năng hình dung không gian, xác định vị trí các điểm và mặt phẳng trong không gian, và vận dụng các công thức tính thể tích. Để giải quyết, người giải cần phân tích khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản hơn, sau đó tính thể tích từng phần và cộng lại. Mức độ khó của bài toán này được đánh giá là cao, phản ánh sự phức tạp của việc phân tích và tính toán thể tích trong bài toán hình học không gian này.

Câu 1106 liên quan đến việc tính thể tích khối hộp và khối tứ diện. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi với góc nhọn 60 độ và chiều cao bằng cạnh đáy. Biết thể tích khối tứ diện C'MNP (M, N, P là trung điểm của AB, B'C', C'D') là 10 cm³, bài toán yêu cầu tính thể tích khối hộp. Đây là một bài toán hình học không gian kết hợp với tính toán thể tích. Để giải quyết, cần sử dụng mối quan hệ giữa thể tích khối hộp và thể tích khối tứ diện, dựa trên vị trí các điểm M, N, P. Mức độ vận dụng thấp cho thấy đây là một bài toán tương đối cơ bản, kiểm tra khả năng tính toán thể tích khối hộp và khối tứ diện.

Câu 1133 là bài toán thực tế liên quan đến việc tính toán thể tích và số lượng vật liệu. Một gia đình muốn xây bể nước hình hộp chữ nhật có kích thước cụ thể, với các bức tường và đáy dày 1dm. Bể được xây bằng các viên gạch hình lập phương cạnh 1dm. Bài toán yêu cầu tính số lượng viên gạch cần dùng. Đây là bài toán thực tế ứng dụng kiến thức về thể tích hình hộp chữ nhật và khả năng tính toán. Để giải quyết, cần tính thể tích của bể nước (kể cả độ dày của tường và đáy), sau đó chia cho thể tích của một viên gạch để tìm số lượng gạch cần thiết. Mức độ vận dụng được đánh giá là thấp, cho thấy bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng công thức tính thể tích và khả năng tính toán cơ bản.

Câu 1131 là bài toán tối ưu hóa liên quan đến thể tích và diện tích. Một người muốn đóng thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp, với thể tích 8m³. Giá tôn đáy và xung quanh khác nhau. Bài toán yêu cầu tìm cạnh đáy để chi phí nguyên liệu là nhỏ nhất. Đây là bài toán tối ưu, cần thiết lập hàm chi phí dựa trên cạnh đáy của thùng tôn, sau đó sử dụng các phương pháp tính toán để tìm cực tiểu của hàm chi phí. Mức độ khó được đánh giá là mức độ vận dụng thấp, cho thấy việc giải quyết bài toán này chủ yếu dựa trên các kỹ thuật tối ưu cơ bản.