Tổng ôn Phương trình lượng giác

Phần này tập trung vào các bài toán đếm và lập số thỏa mãn các điều kiện cho trước. Câu 58 yêu cầu tính số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số, được lập từ tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, và chia hết cho 2. Đây là bài toán tổ hợp, đòi hỏi việc hiểu rõ về nguyên tắc đếm và tính chất chia hết. Câu 59 là một bài toán khác liên quan đến việc lập số, nhưng phức tạp hơn. Bài toán yêu cầu tính số lượng biển đăng ký xe gồm 6 ký tự, trong đó 3 ký tự đầu là chữ cái (trong 26 chữ cái), 3 ký tự sau là chữ số. Điều kiện quan trọng là mỗi chữ cái và mỗi chữ số chỉ được sử dụng một lần. Câu 92 lại tập trung vào số Palindrome gồm 5 chữ số, một dạng bài toán đặc biệt đòi hỏi sự hiểu biết về cấu trúc số và tính đối xứng. Câu 93 yêu cầu tính số lượng các số có hai chữ số được lập từ tập {1, 2, ..., 9} sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. Các bài toán này minh họa sự đa dạng của các bài toán tổ hợp, đòi hỏi người giải phải linh hoạt áp dụng các nguyên tắc đếm khác nhau.

Phần này trình bày các bài toán tính xác suất trong nhiều bối cảnh khác nhau. Câu 74 đề cập đến xác suất trúng đích của ba xạ thủ, với xác suất trúng đích riêng biệt cho mỗi người. Bài toán yêu cầu tính xác suất để đúng hai người bắn trúng bia, đòi hỏi việc hiểu và áp dụng quy tắc nhân xác suất. Câu 76 đưa ra một bài toán xác suất trong một trận đấu bóng đá, liên quan đến xác suất thủ môn cản phá quả đá phạt 11m. Bài toán này có tính chất phức tạp hơn, đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng các trường hợp khác nhau. Câu 75 là một bài toán xác suất liên quan đến hình học. Bài toán yêu cầu tính xác suất chọn được 4 đỉnh của một tứ diện từ một tập hợp các điểm được tô màu trên tứ diện đó (gồm các đỉnh, trung điểm cạnh, trọng tâm mặt và trọng tâm tứ diện). Câu 72 là một bài toán xác suất liên quan đến hình học phẳng. Bài toán liên quan đến việc tính xác suất chọn được một tam giác có hai đỉnh màu đỏ từ các điểm được tô màu đỏ và xanh trên hai đường thẳng song song. Các bài toán này cho thấy ứng dụng đa dạng của lý thuyết xác suất trong giải quyết các vấn đề thực tiễn và các bài toán hình học.

Phần này bao gồm các bài toán xác suất và tổ hợp phức tạp hơn, đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết và kỹ năng giải quyết vấn đề. Câu 145 đưa ra một bài toán xác suất trong kỳ thi THPT Quốc gia, tính xác suất thí sinh đạt được tổng điểm từ một ngưỡng nhất định dựa trên số câu trả lời đúng và số câu trả lời ngẫu nhiên. Bài toán này đòi hỏi kiến thức về phân phối xác suất. Câu 150 đề cập đến xác suất trong việc gieo xúc xắc không cân đối, đòi hỏi việc tính toán xác suất dựa trên phân phối xác suất không đồng đều. Câu 181 là một bài toán xác suất liên quan đến việc chọn ngẫu nhiên câu hỏi trong đề thi, tính xác suất học sinh làm đúng ít nhất một số lượng câu hỏi nhất định. Câu 178 đề cập đến bài toán xác suất trong việc lựa chọn học sinh, tính xác suất chọn được ít nhất một học sinh giỏi môn Toán và ít nhất một học sinh giỏi môn Văn từ một nhóm học sinh có thành tích học tập đa dạng. Câu 188 là một bài toán về nguyên lý Dirichlet, liên quan đến việc tìm số phiếu tối thiểu cần thiết để đảm bảo có ít nhất hai phiếu trả lời giống hệt nhau. Những bài toán này thể hiện sự phức tạp và tính ứng dụng cao của lý thuyết xác suất và tổ hợp trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.

Một số bài toán tập trung vào việc tính toán thể tích của các khối đa diện. Câu 75 đề cập đến việc tính xác suất chọn được 4 đỉnh của một tứ diện từ tập hợp các điểm trên tứ diện (đỉnh, trung điểm cạnh, trọng tâm mặt, trọng tâm tứ diện). Bài toán này đòi hỏi hiểu biết về cấu trúc của tứ diện và khả năng đếm các điểm. Câu 1167 là bài toán phức tạp hơn, liên quan đến khối chóp tứ giác đều. Bài toán yêu cầu tính thể tích một phần của khối chóp sau khi được chia bởi một mặt phẳng. Câu 1177 đề cập đến tứ diện đều và việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN, với M, N là các điểm thay đổi trên các cạnh BC và BD sao cho (AMN) vuông góc với (BCD). Câu 1187 liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp MNPQ, với M là điểm thay đổi trong tam giác ABC và N, P, Q là các điểm giao của các đường thẳng song song với DA, DB, DC với các mặt phẳng tương ứng. Những bài toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững công thức tính thể tích của các khối đa diện và kỹ năng hình học không gian.

Một số bài toán liên quan đến hình học phẳng, bao gồm tính toán diện tích và các phép biến đổi hình học. Câu 72 đề cập đến xác suất chọn được tam giác có hai đỉnh màu đỏ từ các điểm trên hai đường thẳng song song. Bài toán này kết hợp cả xác suất và hình học. Câu 96 liên quan đến việc tìm số lượng véc-tơ khác véc-tơ không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Đây là bài toán tổ hợp liên quan đến sự sắp xếp và vị trí điểm. Câu 135 đề cập đến việc tìm số lượng tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của một đa giác đều. Bài toán này đòi hỏi hiểu biết về tính chất của đa giác đều và các góc trong tam giác. Câu 143 đề cập đến việc tính xác suất chọn được tam giác cân nhưng không phải tam giác đều từ các đỉnh của một đa giác đều. Những bài toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững các khái niệm cơ bản về hình học phẳng, tính toán diện tích, và khả năng phân tích tổ hợp.

Một số bài toán liên quan đến phép biến đổi hình học như phép vị tự và phép tịnh tiến. Câu 362 đề cập đến việc tìm bán kính của ảnh của một đường tròn qua phép đồng dạng gồm phép vị tự và phép tịnh tiến. Đây là một bài toán điển hình về phép biến đổi hình học. Câu 368 cũng liên quan đến phép đồng dạng, bao gồm phép vị tự và phép tịnh tiến, để tìm phương trình của ảnh của một đường tròn. Câu 1252 là một bài toán tối ưu hóa, liên quan đến việc tạo hình nón từ một đĩa tròn bằng cách cắt đi một hình quạt. Bài toán yêu cầu tìm độ dài cung tròn để thể tích khối nón lớn nhất. Câu 1256 đề cập đến việc tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với các điều kiện về vị trí của các điểm A, B, C, D được cho. Những bài toán này thể hiện sự kết hợp giữa hình học và giải tích, đòi hỏi người giải phải hiểu rõ các phép biến đổi hình học và khả năng giải quyết các bài toán tối ưu.

Một số bài toán liên quan đến việc ứng dụng hình học vào các bài toán thực tế. Câu 607 đề cập đến việc tính toán chi phí xây dựng một bể nước hình hộp chữ nhật, yêu cầu tính toán diện tích các mặt và tính toán chi phí vật liệu. Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết về hình học không gian và khả năng áp dụng vào bài toán thực tế. Câu 1128 liên quan đến việc tính chiều cao của một hồ cá hình hộp chữ nhật dựa trên thể tích nước và kích thước đáy. Câu 1178 đề cập đến việc tối ưu hóa không gian bên trong một chiếc lều được dựng từ một tấm bạt hình chữ nhật. Câu 1175 là bài toán ứng dụng hình học vào thực tiễn, liên quan đến việc tính toán tỉ lệ phần gỗ cần phải đẽo đi khi tạo hình trụ từ khối gỗ hình hộp. Câu 1176 liên quan đến việc tính thể tích khối chóp dựa trên thông tin về hình nón nội tiếp trong hình thang cân. Những bài toán này cho thấy sự kết hợp giữa lý thuyết hình học và việc giải quyết vấn đề thực tiễn.

Câu 607 là một bài toán tối ưu hóa chi phí. Gia đình ông An cần xây một bể nước hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 2018 lít. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Vật liệu xây dựng bao gồm bê tông cho đáy (250.000 đồng/m²), gạch cho thân bể (200.000 đồng/m²), và tôn cho nắp bể (100.000 đồng/m²). Bài toán yêu cầu tìm kích thước của bể sao cho tổng chi phí là thấp nhất. Đây là một bài toán ứng dụng toán học, đòi hỏi người giải phải thiết lập được hàm mục tiêu thể hiện tổng chi phí dựa trên các kích thước của bể, sau đó tìm giá trị tối thiểu của hàm này thông qua các phương pháp tối ưu hóa. Việc chuyển đổi đơn vị dung tích (lít) sang thể tích (m³) cũng là một phần quan trọng của bài toán.

Một số bài toán liên quan đến quản lý tài chính, đặc biệt là tính toán lãi suất và đầu tư. Câu 904 là một bài toán về tiết kiệm, tính toán số tiền cần gửi tiết kiệm mỗi năm để đạt được mục tiêu tài chính 2 tỷ đồng sau 8 năm, với lãi suất 8%/năm và lãi được nhập vào gốc. Câu 905 là bài toán về lãi kép, tính toán tổng số tiền lãi nhận được sau 5 năm với hai giai đoạn gửi tiết kiệm khác nhau về kỳ hạn và lãi suất. Câu 907 liên quan đến việc tính toán số tiền cả vốn lẫn lãi sau 5 năm 8 tháng gửi tiết kiệm, bao gồm cả trường hợp rút trước hạn. Câu 908 là bài toán vay trả góp, tính toán số tiền cần trả hàng tháng để trả hết nợ 96 triệu đồng trong 2 năm với lãi suất 1%/tháng. Câu 910 hỏi về thời gian cần thiết để số tiền gửi tiết kiệm tăng gấp đôi với lãi suất cố định. Câu 920 liên quan đến việc tính toán lãi suất vay ngân hàng dựa trên số tiền vay ban đầu và số tiền phải trả sau 2 năm, trong đó lãi tháng trước được tính vào vốn tháng sau. Những bài toán này thể hiện sự ứng dụng của toán học trong việc tính toán và quản lý tài chính cá nhân và đầu tư.

Một vài bài toán ứng dụng kiến thức toán học vào các lĩnh vực khác như vật lý và sinh học. Câu 632 là bài toán liên quan đến chuyển động, yêu cầu tìm vận tốc tức thời nhỏ nhất của một vật thể có quãng đường di chuyển được mô tả bởi một hàm số bậc ba theo thời gian. Câu 1018 là bài toán tính quãng đường di chuyển của một vật trong 4 giờ, với vận tốc được mô tả bởi đồ thị vận tốc bao gồm một phần đường parabol và một đoạn thẳng. Câu 1030 là bài toán mô hình hóa sự tăng trưởng của vi khuẩn, yêu cầu tính số lượng vi khuẩn vào ngày thứ 12, biết tốc độ tăng trưởng và số lượng vi khuẩn ban đầu. Những bài toán này cho thấy toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng trong vật lý và sinh học, đòi hỏi khả năng xây dựng và giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, đạo hàm và tích phân.

Một số bài toán khác ứng dụng kiến thức hình học vào các tình huống thực tế khác nhau. Câu 677 là một bài toán hình học về việc tìm chiều dài tối thiểu của một que sào để chặn một hành lang hình chữ L. Câu 687 liên quan đến việc tối ưu hóa chi phí xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích cho trước, với đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Câu 1128 là bài toán tính toán chiều cao của một hồ cá hình hộp chữ nhật, biết diện tích đáy và thể tích nước. Một bài toán khác liên quan đến việc tạo hình kim tự tháp từ một miếng bìa hình vuông, yêu cầu tìm kích thước cạnh đáy để thể tích kim tự tháp lớn nhất. Những bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết hình học và khả năng giải quyết vấn đề thực tế, đòi hỏi người giải phải vận dụng các kiến thức hình học không gian và phẳng để thiết lập mô hình toán học và tìm ra lời giải.