Số phức và ứng dụng

Bài toán bắt đầu từ việc cho hàm số y = 2x³ - 3x² + 1 có đồ thị (C). Điểm A₁ với hoành độ x₁ = 1 nằm trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại A₁ cắt (C) tại điểm thứ hai A₂ (A₂ ≠ A₁), có hoành độ x₂. Quá trình này được tiếp tục: tiếp tuyến tại Aₙ₋₁ cắt (C) tại Aₙ (Aₙ ≠ Aₙ₋₁), có hoành độ xₙ. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho một điều kiện liên quan đến xₙ được thỏa mãn (điều kiện này bị thiếu trong đoạn trích cung cấp, chỉ ghi là 'để 5¹⁰⁰'). Đây là một bài toán điển hình liên quan đến tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba, giải phương trình và tìm quy luật trong dãy số. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi kiến thức vững chắc về đạo hàm, phương trình tiếp tuyến và khả năng nhận biết quy luật trong dãy số. Điểm mấu chốt nằm ở việc lập phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm Aᵢ và tìm hoành độ giao điểm với đồ thị (C) để tìm ra công thức tổng quát cho xₙ. Sau đó, điều kiện 'để 5¹⁰⁰' sẽ được sử dụng để tìm giá trị nhỏ nhất của n.

Để giải quyết bài toán, ta cần thực hiện các bước sau: Đầu tiên, tìm đạo hàm của hàm số y = 2x³ - 3x² + 1. Tiếp theo, lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A₁ (x₁ = 1). Giải phương trình để tìm hoành độ x₂ của điểm A₂. Lặp lại quá trình này để tìm công thức tổng quát cho xₙ. Công thức tổng quát này sẽ liên quan đến n và x₁. Cuối cùng, thay điều kiện liên quan đến xₙ (điều kiện bị thiếu trong đoạn trích) vào công thức tổng quát để tìm giá trị nhỏ nhất của n. Đây là một bài toán đòi hỏi sự kết hợp khéo léo giữa các kiến thức về đạo hàm, phương trình tiếp tuyến, và dãy số. Khó khăn chính của bài toán nằm ở việc tìm ra công thức tổng quát cho xₙ, đòi hỏi khả năng tư duy logic và phân tích toán học tốt. Việc tìm công thức này có thể được thực hiện thông qua quan sát, lập luận quy nạp, hoặc sử dụng các kỹ thuật giải phương trình phức tạp hơn. Sau khi có công thức tổng quát, việc tìm giá trị nhỏ nhất của n trở nên đơn giản hơn.

Bài toán đặt trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x + y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1; 1; 1), B(-3; -3; -3). Yêu cầu tìm mặt cầu (S) đi qua hai điểm A và B, đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm C. Một điểm đáng chú ý là điểm C luôn nằm trên một đường tròn cố định. Bài toán yêu cầu tính bán kính R của đường tròn cố định này. Dữ kiện chính của bài toán bao gồm phương trình mặt phẳng (P), tọa độ hai điểm A và B. Điểm C, điểm tiếp xúc của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P), đóng vai trò quan trọng trong việc xác định đường tròn cố định. Việc xác định vị trí của C và tính bán kính R dựa trên mối quan hệ giữa mặt cầu, mặt phẳng và hai điểm A, B cho trước. Sự tồn tại của đường tròn cố định thể hiện một tính chất hình học đặc biệt trong bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng.

Lời giải đề cập đến việc tìm giao điểm D của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Tọa độ điểm D được tính toán dễ dàng. Sau đó, lời giải sử dụng tính chất phương tích: DA.DB = DI² - R², trong đó I là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S). Vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu (S), nên ta có DC² = DI² - R². Hai công thức này được kết hợp để tìm bán kính R của đường tròn cố định mà điểm C nằm trên đó. Phương pháp giải dựa trên việc kết hợp tính chất phương tích và tính chất tiếp tuyến của mặt cầu. Việc xác định tọa độ điểm D là bước quan trọng để áp dụng tính chất phương tích. Bài toán này minh họa ứng dụng của phương tích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng, đặc biệt là trong việc xác định mối quan hệ giữa các điểm và bán kính.

Bài toán đưa ra các đáp án lựa chọn cho bán kính R của đường tròn cố định: R = 4, R = 2√33/3, R = 2√11/3, R = 6. Lời giải không được trình bày đầy đủ trong đoạn trích, chỉ đưa ra kết quả cuối cùng mà không giải thích chi tiết cách tính toán. Tuy nhiên, việc sử dụng phương tích và tính chất tiếp tuyến của mặt cầu đã được đề cập đến. Kết quả cuối cùng là một giá trị cụ thể cho bán kính R, xác định kích thước của đường tròn cố định mà điểm C nằm trên đó. Bài toán này không chỉ yêu cầu tính toán mà còn đòi hỏi hiểu biết về các khái niệm hình học không gian như mặt cầu, mặt phẳng, tiếp tuyến, và phương tích. Việc tìm ra bán kính R giúp làm sáng tỏ mối quan hệ hình học giữa các yếu tố trong bài toán, cụ thể là vị trí điểm tiếp xúc C và các yếu tố khác.

Bài toán xuất phát từ một khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Điểm E là điểm đối xứng của A qua D. Một mặt phẳng đi qua CE và vuông góc với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AB tại điểm F. Bài toán yêu cầu tính thể tích V của khối tứ diện AECF. Đây là một bài toán hình học không gian, đòi hỏi khả năng hình dung không gian và vận dụng các kiến thức về hình học đa diện. Khối tứ diện đều ABCD tạo thành nền tảng cho bài toán, trong đó điểm E được xác định thông qua phép đối xứng, tạo ra một cấu trúc hình học phức tạp hơn. Mặt phẳng cắt tạo ra tứ diện AECF, và việc tính thể tích của tứ diện này là mục tiêu chính của bài toán. Cần phải xác định chính xác vị trí của điểm F trên cạnh AB, điều này phụ thuộc vào vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và khối tứ diện. Hình học không gian và khả năng hình dung không gian đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán này.

Để tính thể tích khối tứ diện AECF, ta cần xác định chính xác vị trí của điểm F trên cạnh AB. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết về mối quan hệ giữa mặt phẳng (CEF) và mặt phẳng (ABD), cụ thể là tính vuông góc giữa hai mặt phẳng này. Việc xác định tọa độ điểm F có thể được thực hiện thông qua việc thiết lập hệ phương trình dựa trên điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng và vị trí điểm F trên cạnh AB. Sau khi xác định được vị trí điểm F, ta có thể sử dụng các công thức tính thể tích tứ diện. Có nhiều phương pháp tính thể tích tứ diện, ví dụ như sử dụng công thức dựa trên tọa độ các đỉnh hoặc công thức dựa trên diện tích đáy và chiều cao. Việc lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào cách xác định tọa độ các điểm và sự thuận tiện trong tính toán. Kết quả cuối cùng là một biểu thức thể hiện thể tích V của khối tứ diện AECF theo cạnh a của tứ diện đều ABCD. Khó khăn chính của bài toán nằm ở việc xác định vị trí của điểm F và thiết lập các mối quan hệ hình học chính xác giữa các điểm và mặt phẳng.

Một số câu hỏi trong phần này tập trung vào việc khảo sát tính chất của hàm số và đạo hàm của chúng. Ví dụ, một câu hỏi yêu cầu xét hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1, 1] và thỏa mãn điều kiện f²(x) ≤ 1 với mọi x ∈ [-1, 1]. Điều kiện này đặt ra giới hạn cho giá trị của hàm số. Một câu hỏi khác liên quan đến hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn các điều kiện f(0) = f(1) = 1; f'(0) = 2018. Các điều kiện này giúp xác định dạng của hàm số và tính chất của đạo hàm. Việc phân tích các điều kiện này giúp tìm hiểu về tính đơn điệu, cực trị, và các tính chất khác của hàm số. Những câu hỏi này kiểm tra khả năng sử dụng đạo hàm để khảo sát tính chất của hàm số, bao gồm cả việc tìm cực trị và các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số. Sự hiểu biết về đạo hàm và mối liên hệ giữa đạo hàm với tính chất của hàm số là cần thiết để giải quyết các câu hỏi này một cách chính xác.

Một số câu hỏi khác liên quan đến việc tính toán tích phân. Ví dụ, một câu hỏi đề cập đến hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn f(5 + 4x + 3) = 2x + 1 với mọi x ∈ ℝ. Câu hỏi yêu cầu tính toán tích phân xác định. Để giải quyết câu hỏi này, cần phải sử dụng kỹ thuật biến đổi biến số để đơn giản hóa biểu thức tích phân. Hiểu biết về tính chất của tích phân và các kỹ thuật tích phân là rất quan trọng trong việc giải quyết câu hỏi này. Một số kỹ thuật tích phân như tích phân từng phần, tích phân đổi biến, và các công thức tích phân cơ bản cần được vận dụng một cách thành thạo. Khó khăn của bài toán nằm ở việc biến đổi biểu thức tích phân sao cho có thể tính toán được một cách chính xác và hiệu quả. Việc lựa chọn kỹ thuật tích phân phù hợp sẽ giúp rút ngắn thời gian giải quyết bài toán và giảm thiểu sai sót.

Một câu hỏi sử dụng đồ thị hàm số để xác định giá trị nhỏ nhất của đạo hàm. Cho đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng tiếp tuyến tại gốc tọa độ. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f'(x). Dựa vào đồ thị, ta nhận thấy x = 0 là nghiệm của phương trình f''(x) = 0, đồng thời là điểm cực trị của hàm số y = f'(x). Hàm số y = f'(x) có dạng hàm số bậc hai với hệ số bậc cao nhất dương. Giá trị nhỏ nhất m chính là f'(0), đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0. Câu hỏi này kiểm tra khả năng phân tích đồ thị hàm số để suy ra thông tin về đạo hàm và giá trị cực trị. Khả năng quan sát và hiểu biết về mối liên hệ giữa đồ thị hàm số, đạo hàm và cực trị là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Việc xác định chính xác giá trị m dựa trên hình dạng đồ thị và kiến thức về đạo hàm là then chốt để trả lời đúng câu hỏi.

Một số bài toán liên quan đến việc tính toán môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức. Ví dụ, một bài toán yêu cầu tính môđun của số phức z₁ + z₂, biết rằng z₁ và z₂ là hai số phức khác 0 thỏa mãn điều kiện z₁² - z₁z₂ + z₂² = 0, và các điểm biểu diễn của z₁, z₂ tạo thành một tam giác OAB có diện tích bằng 3. Bài toán này liên quan đến việc sử dụng các công thức tính môđun số phức và áp dụng kiến thức về hình học phẳng. Khó khăn của bài toán nằm ở việc suy luận ra mối quan hệ giữa z₁ và z₂ từ điều kiện cho trước và kết hợp với thông tin về diện tích tam giác để tìm môđun của tổng hai số phức. Việc hiểu rõ về biểu diễn hình học số phức và các tính chất hình học của tam giác là rất quan trọng. Bài toán này kết hợp kiến thức đại số và hình học để tìm ra kết quả cuối cùng.

Một bài toán khác liên quan đến việc tìm tập hợp các giá trị của tham số m sao cho tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn hai điều kiện: |z| = 1 và |z - (3 + 4i)| = m. Bài toán này liên quan đến việc tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn hai điều kiện trên mặt phẳng phức. Tập hợp các điểm thỏa mãn |z| = 1 là đường tròn tâm O(0, 0) bán kính 1, và tập hợp các điểm thỏa mãn |z - (3 + 4i)| = m là đường tròn tâm I(3, 4) bán kính m. Điều kiện tồn tại duy nhất số phức z tương đương với việc hai đường tròn tiếp xúc nhau (tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong). Từ đó, ta có thể thiết lập phương trình để tìm giá trị của m. Bài toán này đòi hỏi khả năng hiểu biết sâu sắc về biểu diễn hình học số phức và các tính chất của đường tròn trên mặt phẳng phức. Khó khăn của bài toán nằm ở việc chuyển đổi điều kiện hình học (tiếp xúc của hai đường tròn) thành phương trình đại số để giải tìm m.

Một bài toán khác liên quan đến việc xét số phức z và số phức liên hợp của nó, có điểm biểu diễn là M và M'. Số phức z(√3 + i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N'. Cho biết MM'N'N là một hình chữ nhật. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của |z + ( -4 + 5i)|. Bài toán này kết hợp giữa biểu diễn hình học số phức và tính chất hình học của hình chữ nhật. Khó khăn của bài toán nằm ở việc sử dụng tính chất hình chữ nhật để thiết lập mối quan hệ giữa z và các điểm M, M', N, N', từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z + ( -4 + 5i)|. Việc hiểu rõ về phép nhân số phức và biểu diễn hình học của số phức là rất cần thiết để giải quyết bài toán này. Bài toán đòi hỏi sự kết hợp giữa đại số và hình học để tìm lời giải.

Một bài toán liên quan đến hình học không gian xét một khối lập phương có cạnh 2cm được chia thành 8 khối lập phương nhỏ hơn, mỗi cạnh 1cm. Bài toán yêu cầu xác định số lượng tam giác có thể được tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương nhỏ hơn. Đây là bài toán đếm, đòi hỏi sự cẩn thận và kỹ thuật đếm hệ thống. Tổng số đỉnh của các khối lập phương nhỏ là 27. Số lượng tam giác được tạo thành bằng số cách chọn 3 điểm từ 27 điểm, nhưng cần loại trừ các trường hợp 3 điểm thẳng hàng. Việc xác định chính xác số lượng tam giác cần sự hiểu biết về tổ hợp và khả năng hình dung không gian ba chiều. Khó khăn của bài toán nằm ở việc loại bỏ các trường hợp 3 điểm thẳng hàng một cách chính xác và hiệu quả. Kết quả cuối cùng là một số nguyên cho biết số lượng tam giác có thể tạo thành.

Một bài toán khác liên quan đến tứ diện OABC, trong đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Bài toán yêu cầu tìm tỷ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất. Đây là bài toán hình học không gian phức tạp hơn, liên quan đến các tính chất của tứ diện và mặt cầu. Việc tìm tỷ số R/r nhỏ nhất đòi hỏi hiểu biết về các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp của tứ diện. Bài toán này liên quan đến việc tối ưu hóa tỷ số R/r và tìm điều kiện để tỷ số này đạt giá trị nhỏ nhất. Khó khăn của bài toán nằm ở việc tìm ra điều kiện hình học của tứ diện để tỷ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất, và việc áp dụng các công thức tính bán kính mặt cầu một cách chính xác. Kết quả cuối cùng là một giá trị số thể hiện tỷ số R/r nhỏ nhất.

Một bài toán khác trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 4; 5). Yêu cầu tìm mặt phẳng (P) đi qua M sao cho (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) là lớn nhất. Sau đó tính thể tích khối tứ diện OABC. Đây là bài toán tối ưu hóa trong không gian ba chiều, đòi hỏi hiểu biết về phương trình mặt phẳng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Bài toán cần tìm phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn các điều kiện cho trước và tối đa hóa khoảng cách từ O đến (P). Khó khăn chính là việc thiết lập phương trình mặt phẳng (P) và tìm cách tối đa hóa khoảng cách. Sau khi tìm được mặt phẳng (P), việc tính thể tích khối tứ diện OABC được thực hiện bằng các công thức hình học không gian. Kết quả cuối cùng là một giá trị số thể hiện thể tích của khối tứ diện.

Một bài toán liên quan đến tổ hợp là việc xác định số cách sắp xếp các số 1 và -1 vào một bảng ô vuông 4x4 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 0. Đây là bài toán đếm phức tạp, đòi hỏi sự hiểu biết về tổ hợp và khả năng lập luận logic. Tổng số ô trong bảng là 16. Số cách sắp xếp các số 1 và -1 vào các ô sao cho tổng trong mỗi hàng bằng 0 phụ thuộc vào số lượng số 1 và -1 trong mỗi hàng. Điều kiện tổng trong mỗi cột bằng 0 đặt thêm ràng buộc vào cách sắp xếp. Khó khăn của bài toán nằm ở việc tìm ra quy luật sắp xếp thỏa mãn đồng thời cả điều kiện hàng và cột. Việc sử dụng các nguyên lý đếm cơ bản và kỹ thuật tổ hợp là rất cần thiết để giải bài toán này một cách hiệu quả. Kết quả cuối cùng là một số nguyên cho biết số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện.

Một bài toán khác liên quan đến xác suất và tổ hợp là việc xét tập A = {1, 2, 3, ..., 100}. Gọi S là tập các tập con của A, mỗi tập con gồm 3 phần tử và có tổng bằng 91. Bài toán yêu cầu tính xác suất chọn được một tập con thuộc S mà 3 số đó lập thành cấp số nhân. Đây là bài toán xác suất, đòi hỏi sự kết hợp giữa tổ hợp và xác suất. Số lượng tập con của A gồm 3 phần tử và có tổng bằng 91 cần được tính toán trước. Sau đó, cần tìm số lượng tập con trong đó 3 số lập thành cấp số nhân. Khó khăn của bài toán nằm ở việc xác định số lượng tập con thỏa mãn cả hai điều kiện: tổng bằng 91 và lập thành cấp số nhân. Việc sử dụng công thức tổ hợp và công thức xác suất là cần thiết để giải quyết bài toán này. Kết quả cuối cùng là một xác suất, thể hiện dưới dạng một phân số hoặc số thập phân.