Sách giáo khoa: Hướng dẫn sử dụng

Đoạn văn bản giới thiệu khái niệm phép biến hình trong mặt phẳng: Nếu có một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng ấy thì quy tắc đó gọi là một phép biến hình (trong mặt phẳng). Định nghĩa phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Các tính chất của phép tịnh tiến được chứng minh dựa vào tính chất này, và do đó, các phép dời hình cũng có những tính chất đó. Một ví dụ minh họa được đưa ra với hình ảnh gồm các hình A, d, P, q để giải thích về tính đối xứng và trục đối xứng của hình. Phần này đặt nền tảng cho việc hiểu các phép biến hình khác trong mặt phẳng, làm tiền đề cho các phần tiếp theo.

Phần này minh họa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục thông qua ví dụ về hai chiến binh và ngựa cùng màu (trắng hoặc đen) tương ứng với nhau qua một phép tịnh tiến; trong khi hai chiến binh và ngựa khác màu thì tương ứng với nhau qua một phép đối xứng trục và tiếp theo là một phép tịnh tiến. Điều này cho thấy sự kết hợp giữa các phép biến hình để tạo ra sự tương ứng giữa các hình. Nghệ thuật sử dụng những hình bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng được phát triển mạnh mẽ vào thế kỷ XIII ở Italia, cho thấy ứng dụng thực tiễn của các phép biến hình này. Phần này nhấn mạnh vào việc hiểu cách các phép biến hình cơ bản tác động lên hình học.

Mặc dù đoạn văn bản không trực tiếp định nghĩa chi tiết phép quay và phép vị tự, nhưng nó đề cập đến cả hai phép biến hình này như là những phép biến hình mà học sinh sẽ làm quen. Nội dung nhấn mạnh việc học sinh sẽ hiểu thế nào là hai hình bằng nhau, thế nào là hai hình đồng dạng một cách tổng quát. Phép đối xứng tâm được giới thiệu như một trường hợp đặc biệt của phép quay với góc quay π, trong đó tâm quay là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm và ảnh của nó. Các bài toán về việc xác định điểm B trên Ox và C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất, hay chứng minh trục tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định khi A thay đổi trên đường tròn (O;R) cho thấy ứng dụng của phép đối xứng trục trong việc giải quyết bài toán hình học.

Phần này đề cập đến ứng dụng thực tiễn của phép biến hình thông qua bài toán về cuộc chạy thi trên bãi biển. Vận động viên phải xác định vị trí M trên mép nước để quãng đường chạy từ A đến B là ngắn nhất, minh họa ứng dụng của phép biến hình trong việc tối ưu hóa. Khái niệm hình đồng dạng được nhắc đến, cho thấy mối liên hệ giữa các phép biến hình và tính chất đồng dạng của các hình. Phép vị tự được định nghĩa V(O,k) biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho vecto OM' = k.vecto OM. Các tính chất của phép vị tự, bao gồm việc nó là một phép đồng dạng tỷ số |k|, và tính chất đặc biệt về đường thẳng nối một điểm và ảnh của nó luôn luôn đi qua O, được nêu ra. Cuối cùng, mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là hợp thành của một phép vị tự và một phép dời hình.

Phần này định nghĩa hình tự đồng dạng: Một hình trong mặt phẳng được gọi là hình tự đồng dạng nếu mỗi mẫu nhỏ của nó đều chứa một bộ phận đồng dạng với hình đó, tức là khi phóng to bộ phận này theo một tỷ số thích hợp, ta có thể đặt chồng khít lên hình đã cho. Đoạn văn nêu rõ rằng đoạn thẳng, hình tam giác đều, hình vuông là những hình tự đồng dạng. Nhiều hình tự đồng dạng được xây dựng bằng phương pháp lặp (xây dựng theo từng bước). Điều này nhấn mạnh vào tính chất lặp lại và quy luật tự tương tự trong cấu trúc của các hình tự đồng dạng. Việc hiểu rõ định nghĩa này là nền tảng để tiếp thu các ví dụ và ứng dụng của hình tự đồng dạng được trình bày sau đó.

Phần này minh họa khái niệm hình tự đồng dạng thông qua hai ví dụ cụ thể: Tập Cantor và Đường Von Koch. Với tập Cantor, quá trình xây dựng được mô tả là: Chia đoạn thẳng thành ba đoạn con bằng nhau rồi xóa khoảng ở giữa (không kể hai mút). Cứ làm thế mãi thì hình còn lại là tập Cantor. Tương tự, với đường Von Koch, bắt đầu từ một đoạn thẳng, chia nó thành ba đoạn con bằng nhau, dựng tam giác đều trên đoạn con ở giữa rồi xóa cạnh đáy của tam giác đó. Cứ lặp lại quá trình này trên mỗi đoạn của đường gấp khúc thì được đường Von Koch. Hai ví dụ này cho thấy cách xây dựng hình tự đồng dạng bằng phương pháp lặp và cho thấy sự phức tạp của cấu trúc hình học khi lặp đi lặp lại quy trình.

Phần cuối cùng liên hệ hình tự đồng dạng với hình học fractal. Nhiều hình tự đồng dạng phức tạp như thế là những đối tượng nghiên cứu của hình học fractal, một môn hình học được khởi đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ XX bởi nhà toán học Benoit Mandelbrot. Mục đích của hình học fractal là mô tả hình học nhiều cấu trúc gập ghềnh, gồ ghề, lồi lõm, kỳ dị, hỗn độn,… của nhiều hiện tượng vật lý, tự nhiên. Hình học fractal còn nghiên cứu cả những hình không tự đồng dạng. Đoạn văn nêu lên sự liên kết giữa hình tự đồng dạng và hình học fractal, mở rộng kiến thức về hình học phức tạp và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau ngoài toán học thuần túy. Benoit Mandelbrot được nhắc đến như người đặt nền móng cho lĩnh vực này.

Phần này bắt đầu bằng việc nhắc lại các khái niệm quen thuộc trong đời sống hàng ngày như điểm, đường thẳng và mặt phẳng, đồng thời khẳng định chúng là những đối tượng cơ bản của hình học không gian. Từ đó, ta có thể tạo nên nhiều vật thể khác nhau như hình chóp, hình lăng trụ, hình nón,... Một định lý được chứng minh dựa trên các tính chất đã nêu: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b được ký hiệu là mp(a, b). Khái niệm quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng được đề cập: đường thẳng a (không nằm trên mp(P)) song song với mp(P) khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong (P). Những khái niệm này là nền tảng cho việc hiểu các mối quan hệ phức tạp hơn giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Phần này tập trung vào hình chóp, được minh họa bằng ví dụ về các kim tự tháp Ai Cập – công trình kiến trúc hùng vĩ được xây dựng cách đây gần 4500 năm. Nội dung bao gồm việc chứng minh tính chất đồng quy của các đường thẳng (ví dụ: A'C', B'D', SO đồng quy trong hình chóp tứ giác S.ABCD). Một ví dụ khác được đưa ra: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A' là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của mp(A'CD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA). Phần này nhấn mạnh vào việc tìm giao tuyến của các mặt phẳng và phân tích các mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều, đặc biệt là trong hình chóp.

Phần này tiếp tục thảo luận về hình chóp, đặc biệt là hình chóp đều. Đường thẳng vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp. Một câu hỏi được đặt ra để kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về hình chóp đều: Các kết quả sau đây về hình chóp đều có đúng không? Vì sao? (Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy). Kim tự tháp Kheops (Chéops) được lấy làm ví dụ cụ thể, với thông tin về kích thước (cạnh đáy khoảng 230m, chiều cao ban đầu khoảng 147m) và cấu tạo (gồm hơn 2.300.000 tảng đá). Phần này kết hợp lý thuyết với thực tiễn, minh họa các khái niệm bằng một công trình kiến trúc nổi tiếng.

Phần này đề cập đến mối liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Nội dung bao gồm việc xác định khoảng cách ngắn nhất từ một điểm bất kỳ của đường thẳng a đến một điểm bất kỳ của mặt phẳng (P) khi a song song với (P). Ngoài ra, với hai mặt phẳng song song (P) và (Q), khoảng cách từ một điểm bất kỳ A trên (P) đến (Q) là không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. Một bài toán về hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau được đưa ra để tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK (E, F là trung điểm của AB, CD; K là điểm bất kỳ thuộc AD). Phần này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến khoảng cách và vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

Phần này nhắc đến việc vận dụng kiến thức về vectơ trong mặt phẳng vào không gian. Nó nhấn mạnh việc học sinh cần biết vận dụng các kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian, đồng thời bước đầu giải quyết được một số bài toán hình học không gian có liên quan đến các yếu tố vuông góc. Đoạn văn đề cập đến việc nghiên cứu hình học không gian mà đối tượng của nó là các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng. Ví dụ, tứ diện ABCD là một hình có tính chất đó và như thế các vectơ AB, AC, AD không đồng phẳng. Một ví dụ chứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi SA + SB + SC + SD = 4SO (O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD) được nêu ra. Phần này đặt nền tảng cho việc sử dụng vectơ để phân tích các quan hệ hình học trong không gian ba chiều.

Phần này tập trung vào việc chứng minh các tính chất liên quan đến quan hệ song song và vuông góc trong không gian bằng phương pháp vectơ. Ví dụ, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C', I là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song với nhau. Một bài toán khác là tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Đoạn văn nhắc lại việc đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng ở chương trước, và kết hợp với các tính chất đã nêu, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Đây là phần vận dụng trực tiếp vectơ để giải quyết các bài toán hình học không gian.

Phần này tập trung vào việc ứng dụng vectơ để tính toán khoảng cách và xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học trong không gian. Ví dụ, cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b, G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh SG ⊥ (ABC) và tính SG. Một bài toán khác liên quan đến việc xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC, tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C, và tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P). Phần này cũng nhắc đến khái niệm đường cao của hình chóp và một câu hỏi về tính đúng sai của kết quả liên quan đến hình chóp đều. Các bài toán này cho thấy sức mạnh của vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.