Căn bậc hai: Lý thuyết và bài tập

Phần này trình bày quy tắc khai căn một tích: Để khai căn bậc hai của một tích các số không âm, ta có thể khai căn bậc hai từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau. Đây là một phương pháp cơ bản và quan trọng để đơn giản hóa việc tính toán căn bậc hai của các biểu thức phức tạp hơn. Ví dụ, để tìm căn bậc hai của tích 4 x 9, ta có thể tính căn bậc hai của 4 là 2 và căn bậc hai của 9 là 3, sau đó nhân hai kết quả lại với nhau: 2 x 3 = 6. Do đó, căn bậc hai của 36 là 6. Nguyên tắc này có thể được mở rộng cho tích của nhiều số không âm hơn nữa, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong toán học.

Để tìm căn bậc hai của một số dương, người ta có thể sử dụng bảng tính sẵn các căn bậc hai. Một ví dụ được đề cập đến là bảng IV trong cuốn "Bảng số với 4 chữ số thập phân" của V.M. Bra-đí-xơ. Bảng này cho phép khai căn bậc hai của bất kỳ số dương nào có nhiều nhất bảy chữ số. Việc sử dụng bảng tính sẵn giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong việc tính toán, đặc biệt là đối với các số có nhiều chữ số. Tuy nhiên, việc sử dụng bảng tính sẵn cũng đòi hỏi người dùng phải có kỹ năng tra cứu và hiểu rõ cách thức hoạt động của bảng. Ví dụ minh họa 0,00168 = 16,8 : 10000 ≈ 4,099 : 100 ≈ 0,04099 cho thấy cách ứng dụng bảng và quy tắc chuyển dấu phẩy để tìm căn bậc hai của số thập phân.

Đối với việc tìm căn bậc hai của số không âm lớn hơn 100 hoặc nhỏ hơn 1, tài liệu giới thiệu một phương pháp tính toán nhanh bằng cách sử dụng hướng dẫn của bảng tính sẵn. Hướng dẫn này liên quan đến việc điều chỉnh vị trí dấu phẩy trong số cần khai căn và trong kết quả. Cụ thể, khi dịch chuyển dấu phẩy trong số N đi 2, 4, 6,… chữ số, thì phải dịch chuyển dấu phẩy trong kết quả theo cùng chiều đi 1, 2, 3,… chữ số. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và tăng tốc độ tìm căn bậc hai, đặc biệt hữu ích khi không có máy tính hoặc không tiện sử dụng máy tính. Các ví dụ minh họa cụ thể cách dịch chuyển dấu phẩy trong số 16,8 sang phải và sang trái để tìm căn bậc hai tương ứng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về phương pháp này.

Đoạn văn này đề cập đến lịch sử tính toán, từ việc sử dụng ngón tay, ngón chân, sỏi, hạt cây cho đến sự ra đời của bàn tính gãy. Bàn tính gãy cho phép tính toán cả với số thập phân và vẫn được sử dụng ở một số quốc gia dù đã có máy tính bỏ túi. Sự phát triển của khoa học, kỹ thuật và nhu cầu thương mại đã dẫn đến việc tạo ra các bảng tính sẵn. Các nhà thiên văn học, toán học nổi tiếng như Cô-pec-ních (Ba Lan), Kê-ple (Đức), Nê-pe (Anh) đóng góp quan trọng trong việc xây dựng kỹ thuật tính toán và lập ra nhiều bảng tính sẵn, trong đó có "Bảng số với 4 chữ số thập phân" được đề cập trước đó. Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của bảng tính sẵn trong lịch sử toán học và ứng dụng thực tiễn của nó.

Phần này giới thiệu khái niệm hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất được định nghĩa là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a và b là các số thực và a ≠ 0. Hệ số a được gọi là hệ số góc và hệ số b là tung độ gốc. Hệ số a quyết định độ dốc của đồ thị hàm số, trong khi hệ số b xác định điểm mà đồ thị cắt trục tung. Một bài toán thực tế về một chiếc ô tô di chuyển từ bến xe phía Nam Hà Nội vào Huế với vận tốc trung bình 50km/h được đưa ra để minh họa cho khái niệm hàm số bậc nhất. Bài toán yêu cầu tính khoảng cách của ô tô so với trung tâm Hà Nội sau t giờ, biết rằng bến xe phía Nam cách trung tâm Hà Nội 8km. Đây là một ví dụ điển hình về cách áp dụng hàm số bậc nhất để mô tả một hiện tượng thực tế.

Phần này tiếp tục thảo luận về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi hệ số a > 0 và nghịch biến khi hệ số a < 0. Điều này có nghĩa là khi a > 0, giá trị của y tăng khi x tăng, và khi a < 0, giá trị của y giảm khi x tăng. Một ví dụ cụ thể y = (m – 2)x + 3 được đưa ra, yêu cầu tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến và nghịch biến. Việc tìm các giá trị của m giúp làm rõ hơn mối quan hệ giữa hệ số a và tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. Qua việc xét đồ thị của các hàm số, ta thấy khi hệ số a dương, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn, và hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90 độ.

Phần này trình bày một ví dụ về ứng dụng của hàm số bậc nhất trong việc tính toán chu vi hình chữ nhật. Một hình chữ nhật có kích thước 20cm và 30cm. Nếu mỗi kích thước của hình chữ nhật tăng thêm x (cm), ta cần lập công thức tính chu vi y (cm) của hình chữ nhật mới theo x. Đây là một bài toán đơn giản nhưng hiệu quả trong việc minh họa cách xây dựng một hàm số bậc nhất từ một bài toán hình học cụ thể. Việc giải quyết bài toán này không chỉ giúp người học hiểu rõ hơn về hàm số bậc nhất mà còn rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế. Kết hợp với điều kiện đã cho, ta tìm được giá trị của m cần tìm, củng cố thêm sự hiểu biết về tính chất của hàm số bậc nhất.

Phần này tập trung vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Một định lý quan trọng được nêu là: Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Điều này tạo ra một mối quan hệ toán học giữa đường cao, cạnh huyền và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông. Các ví dụ được đưa ra để minh họa cách áp dụng định lý này trong việc tính toán chiều cao của cây, chiều dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh góc vuông đã biết. Ngoài ra, tài liệu còn nêu rõ mối quan hệ: mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền; và đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Những hệ thức này cung cấp các công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông, đặc biệt là khi chỉ biết một số thông tin về các cạnh và đường cao.

Phần này giới thiệu khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Tỉ số lượng giác bao gồm sin, cos, tan và cotan. Định nghĩa tỉ số lượng giác được trình bày dựa trên mối quan hệ giữa cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền của góc nhọn. Ví dụ, sin của một góc nhọn α được định nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền. Tài liệu nhấn mạnh tính chất: nếu hai góc nhọn α và β phụ nhau (α + β = 90 độ) thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β. Tính chất này rất hữu ích trong việc tính toán và giải quyết các bài toán liên quan đến góc nhọn trong tam giác vuông. Việc hiểu rõ định nghĩa và tính chất của các tỉ số lượng giác là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong lượng giác.

Phần này hướng dẫn cách sử dụng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi để tìm giá trị của các tỉ số lượng giác và tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác. Tài liệu đề cập đến các bảng như Bảng VIII (dùng để tìm sin, cos của góc nhọn và ngược lại) và Bảng IX, X (dùng để tìm tan, cotan). Cấu tạo của các bảng và cách sử dụng phần hiệu chỉnh cho các góc có số phút không phải bội của 6 được giải thích chi tiết. Ví dụ cụ thể về cách tra bảng để tìm sin 46 độ 12 phút được trình bày. Đối với máy tính Casio fx-220, hướng dẫn cách chọn chế độ độ (DEG), cách sử dụng các phím sin, cos, tan để tính tỉ số lượng giác và cách tính số đo góc khi biết tỉ số lượng giác, bao gồm cả việc làm tròn kết quả đến phút hoặc giây. Việc sử dụng thành thạo bảng lượng giác và máy tính là kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán lượng giác một cách nhanh chóng và chính xác.

Phần này đề cập đến định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn: Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm. Tài liệu nêu rõ tính chất quan trọng của tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Đây là một tính chất cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán hình học liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến. Ngoài ra, phần này cũng có thể đề cập đến dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn và các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (chẳng hạn, độ dài hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đường tròn là bằng nhau), mặc dù chi tiết cụ thể không được trình bày rõ ràng trong đoạn trích dẫn.

Phần này phân tích các vị trí tương đối có thể có giữa đường thẳng và đường tròn. Có ba trường hợp chính: đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt (đường thẳng ở ngoài đường tròn), đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm (tiếp tuyến), và đường thẳng không cắt đường tròn (đường thẳng nằm ngoài đường tròn). Mỗi trường hợp sẽ có các mối quan hệ toán học riêng giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng (d) và bán kính đường tròn (R). Trong trường hợp tiếp tuyến, ta có d = R. Các trường hợp khác sẽ có d > R hoặc d < R. Tuy nhiên, đoạn trích chỉ nêu đến mối quan hệ d và R một cách tổng quát, không đi sâu vào các công thức cụ thể cho từng trường hợp.

Phần này mô tả các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa hai đường tròn. Tùy thuộc vào khoảng cách giữa hai tâm (d) và tổng, hiệu của hai bán kính (R, r), hai đường tròn có thể nằm ngoài nhau, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong hoặc nằm trong nhau. Mỗi trường hợp sẽ có mối quan hệ riêng giữa d, R và r. Ví dụ, hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi d = R + r. Đoạn trích chỉ đề cập đến việc nêu các vị trí tương đối này một cách tổng quát, không đi sâu vào các công thức toán học cụ thể cho mỗi trường hợp. Ứng dụng thực tế của các vị trí tương đối này, ví dụ như trong cơ cấu bánh xe và dây curoa, bánh răng, líp nhiều tầng của xe đạp được đề cập để minh họa sự liên quan của khái niệm toán học với thực tiễn.