Hàm số lượng giác cơ bản

Đoạn văn bản đầu tiên giới thiệu khái niệm hàm số lượng giác tuần hoàn, tập trung vào hai hàm cơ bản là y = sin x và y = cos x. Tính tuần hoàn được đặc trưng bởi chu kỳ 2π, nghĩa là cứ mỗi khi biến số x được cộng thêm 2π, giá trị của các hàm số này lại trở về như cũ. Điều này giải thích cụm từ "tuần hoàn". Đoạn văn nhấn mạnh rằng, nếu biết giá trị của các hàm số này trên một đoạn có độ dài 2π (ví dụ: [0; 2π] hoặc [-π; π]), ta có thể tính được giá trị của chúng tại mọi x. Đây là nền tảng để hiểu và áp dụng tính chất tuần hoàn trong các bài toán liên quan đến hàm lượng giác. Việc nắm vững tính chất này là rất quan trọng trong việc giải các phương trình và bất phương trình lượng giác, cũng như trong việc vẽ đồ thị hàm số. Hiểu được chu kỳ của hàm số giúp ta dự đoán được sự lặp lại của giá trị hàm số, từ đó đơn giản hóa quá trình tính toán và phân tích. Khả năng dự đoán này rất hữu ích trong nhiều ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn như mô hình hóa các hiện tượng vật lý có tính chu kỳ.

Tiếp theo, tài liệu liên hệ tính chất tuần hoàn với hiện tượng âm thanh trong âm nhạc. Âm nhạc, được định nghĩa là nghệ thuật phối hợp các âm thanh, sử dụng các nốt nhạc để ghi lại những âm có tần số xác định. Tần số dao động càng lớn thì âm càng cao. Một điểm đáng chú ý là khi tăng tần số của một âm lên gấp đôi, độ cao của âm đó được tăng thêm một quãng tám. Quãng tám này được chia thành 12 quãng bằng nhau, mỗi quãng gọi là một bán cung, dùng để đo chênh lệch độ cao giữa các âm. Tài liệu cung cấp tỷ số tần số giữa hai âm cách nhau một bán cung là √12/2 và giữa hai âm cách nhau một cung (hai bán cung) là (√12/2)² = √6/2. Ví dụ về tần số của nốt La (440 Hz) được đưa ra làm minh chứng. Như vậy, việc sử dụng nốt nhạc và quãng tám trong âm nhạc phản ánh một cách trực quan tính chất tuần hoàn của tần số âm thanh, tạo nên sự hài hòa và lặp lại trong các bản nhạc. Đây là một ứng dụng thực tế và dễ hiểu của khái niệm toán học về tính tuần hoàn.

Phần này mở rộng khái niệm tuần hoàn sang lĩnh vực vật lý học bằng cách liên hệ nó với âm thanh. Âm thanh được tạo ra bởi sự thay đổi áp suất của môi trường vật chất (khí, lỏng, rắn) một cách tuần hoàn theo thời gian, gọi là dao động tuần hoàn. Tần số của dao động tuần hoàn này, được định nghĩa là 1/T (với T là chu kỳ tính bằng giây), được đo bằng đơn vị Hertz (Hz). Khoảng tần số âm thanh mà tai người nghe được nằm trong khoảng từ 17-20 Hz đến 20.000 Hz. Dao động có tần số cao hơn 20.000 Hz được gọi là siêu âm. Phần này cho thấy tính chất tuần hoàn không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn là một hiện tượng vật lý cơ bản, góp phần hình thành nên âm thanh và siêu âm mà chúng ta gặp hàng ngày. Việc liên hệ giữa khái niệm toán học và hiện tượng vật lý này giúp củng cố hiểu biết về tính chất tuần hoàn và mở rộng ứng dụng của nó ra ngoài phạm vi toán học thuần túy.

Phần này thiết lập mối quan hệ giữa tần số và độ cao của âm thanh. Tần số dao động càng lớn thì âm thanh càng cao. Đây là một quan hệ trực tiếp và dễ hiểu, được minh họa bằng ví dụ thực tế trong âm nhạc. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp chúng ta hiểu được cách thức tạo ra các âm thanh có độ cao khác nhau, từ đó vận dụng vào việc sáng tác và biểu diễn âm nhạc. Tần số, được đo bằng đơn vị Hertz (Hz), đại diện cho số lần dao động trong một giây. Một tần số cao hơn có nghĩa là âm thanh phát ra nhanh hơn, dẫn đến cảm nhận về độ cao của âm thanh tăng lên. Điều này tạo nên sự đa dạng và phong phú trong âm nhạc, cho phép tạo ra nhiều giai điệu và cung bậc cảm xúc khác nhau.

Tài liệu tiếp tục giải thích khái niệm quãng tám và bán cung trong âm nhạc. Khi tăng tần số của một âm lên gấp đôi, ta nói độ cao của âm đó tăng thêm một quãng tám. Quãng tám này được chia thành 12 quãng bằng nhau, mỗi quãng được gọi là một bán cung. Bán cung đóng vai trò quan trọng trong việc xác định khoảng cách độ cao giữa các nốt nhạc. Việc chia quãng tám thành 12 bán cung tạo nên hệ thống âm nhạc hiện đại, cho phép tạo ra nhiều nốt nhạc và gam nhạc khác nhau. Bằng cách này, chúng ta có thể tạo ra sự đa dạng và phong phú trong âm nhạc, đáp ứng nhu cầu biểu đạt cảm xúc phức tạp của con người. Hai âm cách nhau một bán cung có tỷ số tần số là √12/2, và hai âm cách nhau một cung (tức là hai bán cung) có tỷ số tần số là (√12/2)² = √6/2. Những tỷ số này thể hiện sự liên quan toán học chính xác giữa tần số và khoảng cách âm nhạc.

Cuối cùng, phần này đưa ra ví dụ minh họa về mối quan hệ giữa tần số và độ cao âm thanh. Nốt La của một âm giai có tần số 440 Hz. Thông tin này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về sự tương ứng giữa tần số vật lý và cảm nhận âm nhạc. Tần số 440 Hz của nốt La là một chuẩn mực quốc tế, được sử dụng rộng rãi trong việc điều chỉnh nhạc cụ và xác định độ cao âm thanh. Từ ví dụ này, chúng ta có thể suy ra tần số của các nốt nhạc khác trong cùng một âm giai dựa trên tỷ lệ tần số giữa các bán cung và cung đã được đề cập trước đó. Việc sử dụng ví dụ cụ thể giúp người đọc dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về khái niệm tần số và độ cao âm thanh trong âm nhạc, làm cho kiến thức được trình bày trở nên trực quan và dễ tiếp cận hơn.

Phần này định nghĩa âm thanh dựa trên khái niệm dao động tuần hoàn. Âm thanh được tạo ra bởi sự thay đổi áp suất của môi trường vật chất (khí, lỏng, rắn) một cách tuần hoàn theo thời gian. Sự thay đổi áp suất này chính là dao động tuần hoàn, lan truyền trong môi trường và tạo thành sóng âm thanh. Sự tuần hoàn này là yếu tố cốt lõi tạo nên bản chất của âm thanh, giúp phân biệt nó với các dạng sóng khác. Sự hiểu biết về dao động tuần hoàn là nền tảng để hiểu sâu hơn về đặc điểm vật lý của âm thanh, chẳng hạn như tần số, biên độ, và cường độ. Đặc điểm này cũng là cơ sở cho việc nghiên cứu và ứng dụng âm thanh trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ công nghệ âm thanh đến y học.

Tiếp theo, phần này định nghĩa tần số của dao động tuần hoàn. Tần số được định nghĩa là số chu kỳ trong một giây và được tính bằng công thức 1/T, với T là chu kỳ dao động (đơn vị là giây). Đơn vị đo tần số là Hertz (Hz). Đây là một khái niệm quan trọng trong vật lý học, đặc biệt là trong nghiên cứu về sóng. Tần số càng cao thì số lần dao động trong một giây càng nhiều, dẫn đến những đặc điểm khác nhau của sóng âm. Việc hiểu rõ định nghĩa và đơn vị đo tần số giúp ta phân tích và mô tả chính xác các đặc tính của âm thanh, chẳng hạn như độ cao, độ trầm, bổng của âm. Sự chính xác trong việc xác định tần số rất quan trọng trong nhiều ứng dụng công nghệ, chẳng hạn như thiết kế và điều chỉnh các thiết bị âm thanh.

Phần cuối cùng đề cập đến phạm vi tần số âm thanh mà tai người có thể nghe được. Phạm vi này nằm trong khoảng từ 17-20 Hz đến 20.000 Hz. Âm thanh nằm ngoài phạm vi này, cụ thể là dao động có tần số cao hơn 20.000 Hz, được gọi là siêu âm. Sự phân biệt này rất quan trọng trong việc hiểu cách thức con người tiếp nhận âm thanh và ứng dụng của siêu âm trong các lĩnh vực khác nhau. Siêu âm, với tần số cao hơn khả năng nghe của con người, được sử dụng rộng rãi trong y học, công nghệ và nhiều lĩnh vực khác. Việc hiểu rõ phạm vi tần số âm thanh giúp chúng ta hiểu được giới hạn của khả năng nghe của con người và mở rộng kiến thức về các dạng sóng âm khác nhau tồn tại xung quanh chúng ta.

Phần này hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác sử dụng máy tính Casio fx-500MS. Quá trình giải được chia thành hai bước. Bước 1 xác định đơn vị đo góc (độ hoặc radian). Bước 2, sử dụng các phím sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ để tìm số đo góc α khi biết giá trị lượng giác (sin, cos, tan) của góc đó bằng m. Máy tính sẽ hiển thị kết quả là số đo của góc α (độ hoặc radian tùy thuộc vào bước 1). Đây là một phương pháp đơn giản và hiệu quả để giải các phương trình lượng giác cơ bản. Việc sử dụng máy tính giúp tiết kiệm thời gian và giảm thiểu sai sót trong tính toán, đặc biệt là đối với các phương trình phức tạp. Tuy nhiên, người dùng cần hiểu rõ nguyên lý hoạt động của các hàm lượng giác nghịch đảo để áp dụng phương pháp này một cách chính xác.

Sau khi tìm được một nghiệm của phương trình lượng giác, phần này hướng dẫn cách mở rộng kết quả lên toàn trục số. Phương pháp này dựa trên tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác. Nếu phương trình f(x) < m (hoặc f(x) > m, f(x) ≥ m, f(x) ≤ m) có nghiệm trong khoảng (a; b), thì phương trình đó cũng có nghiệm trong mỗi khoảng (a + kT; b + kT), với k là số nguyên và T là chu kỳ của hàm số. Ví dụ, hàm số y = cos x có chu kỳ 2π, nên việc tìm nghiệm trên đoạn [-π; π] là bước đầu tiên để tìm tất cả các nghiệm. Phương pháp này giúp tìm đầy đủ các nghiệm của phương trình lượng giác, đảm bảo tính chính xác và hoàn chỉnh của lời giải. Việc hiểu rõ chu kỳ của các hàm lượng giác là rất quan trọng để áp dụng hiệu quả phương pháp này.

Phần này nêu bật tầm quan trọng của bài toán đếm trong khoa học và cuộc sống. Khi số phần tử của tập hợp nhỏ, ta có thể đếm trực tiếp bằng cách liệt kê. Tuy nhiên, với tập hợp có số phần tử rất lớn, phương pháp đếm trực tiếp trở nên không khả thi. Do đó, cần có các quy tắc đếm để tính chính xác số phần tử mà không cần đếm trực tiếp. Bài toán đếm xuất hiện phổ biến trong nhiều lĩnh vực, từ xác định số khả năng xảy ra của một sự kiện đến việc tính toán số lượng các tổ hợp và hoán vị. Hiểu rõ các nguyên tắc đếm giúp ta giải quyết hiệu quả các vấn đề liên quan đến xác suất, thống kê và các bài toán tổ hợp. Nắm vững các quy tắc này là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong toán học và các ngành khoa học khác.

Phần này giới thiệu hai quy tắc đếm cơ bản. Tuy nhiên, nội dung cụ thể của hai quy tắc này không được trình bày chi tiết trong đoạn trích dẫn. Chỉ đề cập đến việc bài toán sẽ cung cấp hai quy tắc đếm cơ bản, cho phép tính chính xác số phần tử của một tập hợp mà không cần đếm trực tiếp. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc sử dụng các quy tắc đếm trong việc giải quyết các bài toán đếm phức tạp. Việc hiểu và áp dụng thành thạo hai quy tắc này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán tổ hợp, xác suất và thống kê một cách hiệu quả. Cụ thể, việc hiểu các quy tắc này sẽ giúp ta xác định được số lượng các cách lựa chọn, sắp xếp và tổ hợp các phần tử trong một tập hợp, từ đó giải quyết các bài toán đếm một cách chính xác và nhanh chóng.

Phần này trình bày các ví dụ minh họa cho việc áp dụng các quy tắc đếm. Ba ví dụ được đưa ra, bao gồm: (1) Lập mật khẩu gồm 6 ký tự (chữ số hoặc chữ cái), trong đó phải có ít nhất một chữ số; (2) Chọn một đề tài trong một cuộc thi gồm 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa; (3) Đánh nhãn ghế hội trường, mỗi ghế gồm hai phần: một chữ cái (trong bảng chữ cái tiếng Việt) và một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Các ví dụ này minh họa cách áp dụng các quy tắc đếm cơ bản để giải quyết các bài toán đếm trong thực tiễn. Qua các ví dụ cụ thể, người đọc có thể hiểu rõ hơn về cách áp dụng các quy tắc đếm và thấy được sự hữu ích của chúng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế. Các bài toán này có độ phức tạp khác nhau, giúp người đọc nắm bắt được cách áp dụng các quy tắc trong các tình huống đa dạng.

Phần này tóm tắt nguồn gốc lịch sử của lý thuyết xác suất. Lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học người Pháp là Pascal (1623-1662) và Fermat (1601-1665). Sự trao đổi này xoay quanh việc giải đáp một số vấn đề nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc do một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pascal. Năm 1812, nhà toán học Pháp Laplace đã dự báo rằng "Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người". Điều này cho thấy tầm quan trọng và tiềm năng to lớn của lý thuyết xác suất ngay từ những ngày đầu hình thành. Sự ra đời của lý thuyết xác suất không chỉ là một thành tựu toán học thuần túy mà còn đánh dấu sự khởi đầu của một ngành khoa học có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống.

Phần này trình bày định nghĩa cổ điển của xác suất. Định nghĩa này áp dụng cho các phép thử có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của phép thử là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A, thì xác suất của A, ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: P(A) = |ΩA|/|Ω|. Trong đó, |ΩA| là số phần tử của ΩA và |Ω| là số phần tử của Ω. Ví dụ về gieo xúc xắc được dùng để minh họa định nghĩa này. Tuy nhiên, định nghĩa này chỉ áp dụng được trong trường hợp các kết quả là đồng khả năng, tức là xác suất xảy ra của mỗi kết quả là như nhau. Điều này hạn chế tính ứng dụng của định nghĩa cổ điển trong nhiều trường hợp thực tế phức tạp hơn.

Do hạn chế của định nghĩa cổ điển, phần này giới thiệu định nghĩa thống kê của xác suất. Định nghĩa này được sử dụng trong trường hợp các kết quả của phép thử không đồng khả năng, chẳng hạn như gieo một con xúc xắc không cân đối. Theo định nghĩa thống kê, xác suất của biến cố A được tính toán dựa trên tần suất xuất hiện của A trong một số lớn N lần thực hiện phép thử. Tỷ số giữa tần số của A và N được gọi là tần suất của A, và khi N càng lớn thì tần suất này càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê. Tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm. Định nghĩa này có tính ứng dụng rộng rãi hơn định nghĩa cổ điển vì nó không phụ thuộc vào giả thiết các kết quả đồng khả năng, phù hợp hơn với nhiều hiện tượng trong thực tế.

Phần này so sánh hai định nghĩa về xác suất: định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê. Định nghĩa cổ điển áp dụng cho các phép thử có số hữu hạn kết quả đồng khả năng, xác suất của biến cố A được tính bằng tỷ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và tổng số kết quả có thể xảy ra. Tuy nhiên, định nghĩa này có hạn chế vì không áp dụng được cho các trường hợp kết quả không đồng khả năng. Định nghĩa thống kê khắc phục nhược điểm này bằng cách dựa trên tần suất xuất hiện của biến cố trong nhiều lần thực hiện phép thử. Khi số lần thực hiện phép thử càng lớn, tần suất xuất hiện của biến cố càng gần với xác suất thực sự của biến cố đó. Tần suất này được gọi là xác suất thực nghiệm. Sự khác biệt giữa hai định nghĩa nằm ở giả thiết về tính đồng khả năng của các kết quả và phương pháp tính toán xác suất. Định nghĩa thống kê có tính ứng dụng thực tiễn rộng rãi hơn định nghĩa cổ điển.

Định nghĩa cổ điển của xác suất dựa trên giả thiết tất cả các kết quả của phép thử là đồng khả năng. Công thức tính xác suất trong trường hợp này là tỷ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố và tổng số kết quả có thể xảy ra. Điều kiện đồng khả năng này là một hạn chế lớn của định nghĩa cổ điển, vì trong thực tế, nhiều phép thử không thỏa mãn điều kiện này. Ví dụ, gieo một con xúc xắc cân đối thì các mặt có xác suất xuất hiện như nhau, nhưng nếu xúc xắc không cân đối, định nghĩa cổ điển không còn áp dụng được. Định nghĩa này phù hợp cho các bài toán xác suất đơn giản, trong đó các kết quả có thể xảy ra có tính chất đối xứng và đồng khả năng. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt là trong các bài toán thống kê, định nghĩa cổ điển tỏ ra hạn chế và cần phải dùng đến định nghĩa thống kê.

Định nghĩa thống kê của xác suất dựa trên tần suất xuất hiện của biến cố trong một số lớn các lần thực hiện phép thử. Tần suất này được xem như một giá trị gần đúng của xác suất thực sự của biến cố đó. Khi số lần thực hiện phép thử càng lớn, thì tần suất càng gần với xác suất thực. Tần suất được gọi là xác suất thực nghiệm. Định nghĩa thống kê có ưu điểm là không yêu cầu các kết quả của phép thử phải đồng khả năng, do đó có tính ứng dụng rộng rãi hơn định nghĩa cổ điển trong nhiều tình huống thực tiễn. Ví dụ, xác định xác suất một sản phẩm bị lỗi trong quá trình sản xuất hàng loạt, hay xác suất một người bị mắc một loại bệnh nào đó trong quần thể. Trong những trường hợp này, việc sử dụng định nghĩa thống kê là cần thiết để ước lượng xác suất một cách chính xác.

Phần này đề cập đến Giáo sư Tạ Quang Bửu, một nhà khoa học toàn năng, uyên bác, và là cán bộ lãnh đạo có tầm nhìn chiến lược về khoa học và giáo dục. Ông đã có những đóng góp quan trọng trong công cuộc đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học và xây dựng nền đại học Việt Nam, đặc biệt trong thời gian ông giữ chức vụ Giám đốc trường Đại học Bách Khoa (1956-1961) và Bộ trưởng Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp (1965-1976). Thông tin này khẳng định vị thế và tầm ảnh hưởng của Giáo sư Tạ Quang Bửu đối với sự phát triển của giáo dục và khoa học Việt Nam. Sự cống hiến của ông là một minh chứng cho tinh thần khoa học và sự tận tâm với đất nước.

Phần này giới thiệu về một cuốn sách của Giáo sư Tạ Quang Bửu. Cuốn sách dày 81 trang, trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất, thống kê và những ứng dụng của môn học này trong quân sự. Do điều kiện khó khăn của cuộc kháng chiến, sách được in trên giấy xấu, màu vàng nâu, sản xuất tại các xưởng thủ công ở Việt Bắc. Điều này cho thấy bối cảnh lịch sử và sự khó khăn trong việc xuất bản sách thời chiến. Nội dung sách tập trung vào các kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê, cùng với việc áp dụng vào thực tiễn quân sự, phản ánh sự quan tâm của Giáo sư Tạ Quang Bửu đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Cuốn sách là một tài liệu quý giá, phản ánh nỗ lực trong việc phổ biến kiến thức khoa học trong điều kiện khó khăn của đất nước.

Một ví dụ được đưa ra là bài toán xác suất trong một trò chơi điện tử. Xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Bài toán đặt ra câu hỏi: An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95? Đây là một ứng dụng thực tiễn của lý thuyết xác suất, cho thấy cách tính toán xác suất thắng trong một chuỗi các sự kiện độc lập. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi người giải phải hiểu rõ các khái niệm về xác suất, biến cố và cách tính toán xác suất của biến cố hợp. Bài toán này cũng minh họa cho việc ứng dụng lý thuyết xác suất trong các trò chơi và mô phỏng.

Hai bài toán khác liên quan đến việc gieo xúc xắc được đưa ra. Bài toán thứ nhất yêu cầu tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc cân đối bằng 8. Bài toán thứ hai yêu cầu tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc cân đối bằng 9. Đây là các bài toán xác suất cổ điển, trong đó các kết quả của phép thử (gieo xúc xắc) là đồng khả năng. Việc giải quyết các bài toán này đòi hỏi người giải phải liệt kê các trường hợp thuận lợi và áp dụng công thức xác suất cổ điển. Các bài toán này minh họa cách áp dụng lý thuyết xác suất để tính toán xác suất của các biến cố trong các phép thử ngẫu nhiên.

Một bài toán khác liên quan đến việc tính xác suất lỗi in trên một trang sách. Bài toán yêu cầu tính xác suất để: a) Trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi; b) Trên trang sách có ít nhất 2 lỗi. Đây là một ví dụ về ứng dụng xác suất trong kiểm tra chất lượng. Bài toán này phức tạp hơn so với các bài toán gieo xúc xắc, đòi hỏi người giải phải hiểu rõ hơn về các phép toán xác suất, bao gồm cả việc tính toán xác suất của biến cố hợp và biến cố giao. Việc giải quyết bài toán này cho thấy ứng dụng thực tiễn của lý thuyết xác suất trong đánh giá chất lượng sản phẩm, kiểm soát lỗi và quản lý rủi ro.

Phần này bắt đầu bằng định nghĩa khái niệm dãy số. Dãy số được hiểu là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. Ví dụ, việc viết liên tiếp các lũy thừa với số mũ tự nhiên của 1/2 tạo thành một dãy số. Định nghĩa này đặt nền tảng cho việc hiểu và phân tích các loại dãy số khác nhau. Việc hiểu rõ định nghĩa này là cơ sở để phân biệt dãy số với các tập hợp số khác và để tiếp cận với các khái niệm phức tạp hơn về dãy số như giới hạn, hội tụ, phân kỳ, v.v... Khái niệm dãy số là một khái niệm nền tảng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như giải tích, đại số, thống kê và khoa học máy tính.

Phần này giới thiệu về cấp số cộng. Một ví dụ được đưa ra là bài toán về gửi tiền tiết kiệm có kỳ hạn tại ngân hàng. Ngân hàng quy định rằng khi kết thúc kỳ hạn gửi mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi. Đây là một ứng dụng thực tế của cấp số cộng. Tuy nhiên, chi tiết về định nghĩa và tính chất của cấp số cộng không được trình bày rõ ràng trong đoạn trích. Chỉ đề cập đến một ví dụ thực tế, cho thấy sự ứng dụng của cấp số cộng trong các vấn đề tài chính và kinh tế. Việc hiểu rõ định nghĩa và tính chất của cấp số cộng sẽ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số có quy luật cộng.

Phần này đề cập đến cấp số nhân. Một ví dụ được đưa ra là bài toán về tiền công khoan giếng. Tại cơ sở A, giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Đây là một ví dụ về cấp số cộng, không phải cấp số nhân như tiêu đề. Một ví dụ khác là bài toán về một nhà toán học đề nghị bán tiền cho một nhà tỷ phú theo thể thức: liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày bán 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên, và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỷ phú phải mua với giá gấp đôi ngày trước. Bài toán này minh họa cho cấp số nhân. Qua các ví dụ, ta thấy cấp số nhân và cấp số cộng có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Phần này đề cập đến việc tìm giới hạn của dãy số. Một dãy số cụ thể được cho với công thức tổng quát uₙ₊₁ = auₙ + b, trong đó a, b là các số thực cho trước, 0 < a < 1 và b ≠ 0. Để xác định giới hạn của dãy số này, người ta sử dụng phương pháp biểu diễn các số hạng của dãy trên hệ trục tọa độ và sử dụng hai đường thẳng y = ax + b và y = x. Tuy nhiên, cách giải chi tiết không được trình bày đầy đủ. Phần này cho thấy việc tìm giới hạn của dãy số là một vấn đề quan trọng trong giải tích, đòi hỏi sự hiểu biết về khái niệm giới hạn và các kỹ thuật tính toán liên quan. Việc tìm giới hạn giúp ta dự đoán được xu hướng phát triển của dãy số khi n tiến tới vô cùng.

Phần này định nghĩa khái niệm hàm số liên tục. Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, ta không giả thiết hàm số xác định tại điểm đó. Hơn nữa, nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của hàm số tại điểm đó không nhất thiết bằng nhau. Tuy nhiên, đối với các hàm số thường gặp như các hàm đa thức, các hàm phân thức hữu tỷ, các hàm lượng giác, … giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau. Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai trò quan trọng trong Giải tích và trong các ngành Toán học khác. Người ta gọi chúng là các hàm số liên tục. Sự liên tục của hàm số là một tính chất quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số, đặc biệt là trong giải tích.

Phần này giới thiệu khái niệm đạo hàm thông qua một ví dụ về chuyển động của viên bi rơi tự do. Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t = 0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình chuyển động của viên bi là… (Phương trình cụ thể không được nêu rõ trong đoạn trích). Ví dụ này cho thấy đạo hàm được sử dụng để mô tả tốc độ thay đổi của một đại lượng theo thời gian. Tuy nhiên, định nghĩa chính thức của đạo hàm không được trình bày chi tiết trong phần này. Phần này chỉ giới thiệu khái niệm đạo hàm thông qua một ví dụ vật lý, cho thấy ứng dụng của đạo hàm trong việc mô tả chuyển động.

Đoạn văn giới thiệu nhà toán học người Pháp Cauchy, một trong những người sáng lập ra Giải tích hiện đại. Ông có nhiều đóng góp sâu sắc trong các ngành toán học và khoa học khác, để lại dấu ấn thiên tài trong nền toán học thế kỷ XIX. Giáo trình Giải tích do ông giảng dạy và công bố đã vượt xa mục tiêu đào tạo các kỹ sư tương lai thời đó, cho thấy sự tiên phong và tầm nhìn vượt trội của ông. Việc Cauchy định nghĩa các khái niệm một cách chặt chẽ đã tạo nên một bước ngoặt quan trọng trong sự phát triển của toán học, đặt nền móng cho sự phát triển của Giải tích hiện đại. Ông là người đầu tiên trình bày khái niệm giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ như hiện nay đang được giảng dạy trong các trường đại học, cho thấy tầm ảnh hưởng lớn lao của ông đối với toán học hiện đại.

Đoạn văn tiếp theo tóm tắt sự nghiệp của Cauchy, bao gồm cả những thăng trầm trong sự nghiệp của ông. Cuộc cách mạng năm 1830 đã làm gián đoạn sự nghiệp của ông vì sự trung thành với Charles X. Ông từ chối tuyên thệ trung thành với Louis Philippe d'Orléans, người kế vị Charles X. Tuy nhiên, cuộc Cách mạng cộng hòa năm 1848 đã giải tỏa thề trung thành cho các công chức, cho phép Cauchy trở lại giảng dạy và nghiên cứu tại Đại học Sorbonne cho đến cuối đời. Ông có nhiều đóng góp về Giải tích, Đại số, Hình học, Số học, Lý thuyết hàm số phức, Cơ học, Quang học, Thiên văn học,… Sự nghiệp của ông phản ánh sự kết hợp giữa tài năng toán học xuất chúng và những biến cố chính trị thời bấy giờ.

Trong giảng dạy, Cauchy đặc biệt quan tâm đến việc định nghĩa các khái niệm một cách chặt chẽ. Nhiều định lý và phương pháp do ông chứng minh và phát minh mang tên ông. Ông là người đầu tiên trình bày khái niệm giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ như hiện nay đang được giảng dạy trong các trường đại học. Điều này cho thấy sự ảnh hưởng sâu rộng của ông đến phương pháp giảng dạy và nghiên cứu toán học hiện đại. Sự chú trọng vào tính chính xác và chặt chẽ trong định nghĩa của Cauchy đã góp phần quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho Giải tích hiện đại và nhiều lĩnh vực toán học khác. Những đóng góp của ông đã tạo nên một bước ngoặt lịch sử trong sự phát triển của toán học.