Đề thi Toán 11 học kì 1

Đề thi bao gồm câu hỏi về việc xác định tập xác định của hàm số lượng giác. Điều này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ các điều kiện để hàm số lượng giác được xác định, đặc biệt là các hàm số chứa phân số hoặc căn thức có chứa hàm lượng giác. Ví dụ, câu 1 yêu cầu tìm tập xác định của một hàm số lượng giác cụ thể. Để giải quyết loại bài tập này, học sinh cần nắm vững các điều kiện xác định của các hàm lượng giác cơ bản như sinx, cosx, tanx, cotx. Họ cần xác định các giá trị của biến x làm cho mẫu số khác 0 (trong trường hợp có phân số) hoặc biểu thức trong căn thức không âm (trong trường hợp có căn thức). Việc xác định chính xác tập xác định là bước đầu tiên và quan trọng để giải các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác. Khả năng phân tích và áp dụng các điều kiện xác định một cách chính xác sẽ giúp học sinh tránh được các sai sót trong quá trình giải bài toán. Hiểu rõ bản chất của các hàm lượng giác và các quy tắc toán học cơ bản là yếu tố then chốt để thành công trong phần này của đề thi. Câu hỏi này kiểm tra sự hiểu biết cơ bản về hàm số lượng giác và khả năng vận dụng kiến thức đó vào việc xác định tập xác định của hàm số.

Một phần quan trọng trong đề thi là giải phương trình lượng giác. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 11 và đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các công thức lượng giác và các phương pháp giải phương trình. Đề thi có thể bao gồm các phương trình lượng giác cơ bản, ví dụ như sinx = a, cosx = b, tanx = c, cotx = d, hoặc các phương trình phức tạp hơn đòi hỏi việc sử dụng các công thức lượng giác biến đổi. Để thành công trong phần này, học sinh phải nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, các công thức cộng, trừ, nhân đôi, và các công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích. Họ cần biết cách sử dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác như phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng công thức biến đổi, phương pháp dùng đường tròn lượng giác. Khả năng phân tích bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp là rất quan trọng. Đề thi thường thiết kế các bài toán với mức độ khó khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm kiểm tra khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Việc làm quen và thực hành giải nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài thi.

Đề thi cũng bao gồm các câu hỏi về phương trình lượng giác chứa tham số. Loại bài tập này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững cách giải phương trình lượng giác mà còn phải có kỹ năng tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, hoặc tìm giá trị của tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. Câu 13 là một ví dụ điển hình, yêu cầu tìm các giá trị của tham số m để phương trình lượng giác sin2x + 4cos(x - sinx) = m có nghiệm. Để giải quyết loại bài này, học sinh cần phải biết cách biến đổi phương trình lượng giác sao cho có thể biểu diễn nó dưới dạng hàm số của một biến, sau đó dựa vào tính chất của hàm số lượng giác để tìm điều kiện cho tham số. Việc sử dụng các bất đẳng thức lượng giác và các kỹ thuật giải phương trình bậc nhất, bậc hai cũng rất cần thiết. Khả năng phân tích, suy luận logic và sự chính xác trong tính toán là các yếu tố quan trọng để giải đúng các bài toán này. Sự hiểu biết sâu sắc về tính chất của hàm số lượng giác và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ thuật giải phương trình là chìa khóa để thành công trong phần này của đề thi.

Phần này của đề thi tập trung vào các bài toán đếm, cụ thể là các bài toán tổ hợp liên quan đến việc chọn và sắp xếp. Các câu hỏi thường gặp xoay quanh việc tính số cách chọn ra k phần tử từ một tập hợp n phần tử (tổ hợp chập k của n), hoặc tính số cách sắp xếp n phần tử (hoán vị của n). Câu 14 minh họa một bài toán tổ hợp điển hình: Một lớp học có 17 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh đi dự hội nghị sao cho trong 2 học sinh được chọn có cả nam và nữ? Để giải quyết bài toán này, học sinh cần hiểu rõ công thức tổ hợp và cách áp dụng nó vào bài toán cụ thể. Họ cần xác định số cách chọn 1 học sinh nam trong 17 học sinh nam và số cách chọn 1 học sinh nữ trong 18 học sinh nữ. Sau đó, sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn 2 học sinh thỏa mãn yêu cầu. Các câu hỏi khác trong phần này có thể liên quan đến việc tính số cách sắp xếp các phần tử theo một thứ tự nhất định hoặc tính số phần tử của một tập hợp thỏa mãn các điều kiện cho trước. Khả năng phân tích bài toán, lựa chọn đúng công thức tổ hợp và vận dụng quy tắc đếm là các yếu tố then chốt để giải quyết thành công các bài toán trong phần này.

Phần này đề cập đến các bài toán xác suất, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về không gian mẫu, biến cố và xác suất của biến cố. Các câu hỏi có thể liên quan đến việc tính xác suất của một biến cố cụ thể, hoặc xác định xác suất của một biến cố dựa trên các điều kiện cho trước. Một ví dụ là câu 28: Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu, mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất P để học sinh đó trả lời đúng được 5 câu. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần xác định không gian mẫu, xác định biến cố và áp dụng công thức xác suất. Không gian mẫu là tổng số cách chọn phương án trả lời cho 10 câu hỏi. Biến cố là học sinh trả lời đúng được 5 câu. Công thức xác suất được áp dụng để tính xác suất của biến cố này. Các câu hỏi khác trong phần này có thể bao gồm việc tính xác suất của các biến cố độc lập, các biến cố phụ thuộc hoặc xác suất có điều kiện. Khả năng hiểu rõ các khái niệm về xác suất, khả năng phân tích và vận dụng các công thức xác suất vào các tình huống cụ thể là yếu tố quyết định để học sinh giải đúng các bài toán này.

Ngoài các bài toán tổ hợp và xác suất cơ bản, đề thi cũng bao gồm các bài toán đếm phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kỹ thuật đếm khác nhau. Các câu hỏi này có thể liên quan đến việc sắp xếp các phần tử với các ràng buộc nhất định, hoặc đếm số lượng các phần tử thỏa mãn nhiều điều kiện khác nhau. Ví dụ, câu hỏi về việc tạo các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số cho trước (Câu 15), hoặc câu hỏi về số lượng số tự nhiên chia hết cho 5, gồm 3 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập hợp cho trước (Câu 16), hay bài toán tìm số lượng số tự nhiên gồm tám chữ số, trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chữ số 0 xuất hiện nhiều nhất một lần (Câu 21) đều là những ví dụ điển hình. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các nguyên tắc đếm cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, nguyên lý bù trừ, và phải có khả năng phân tích bài toán một cách logic để tìm ra cách đếm hiệu quả. Việc sử dụng các kỹ thuật như sơ đồ cây, phương pháp liệt kê hoặc phương pháp quy nạp cũng có thể giúp học sinh giải quyết các bài toán đếm phức tạp này một cách dễ dàng hơn.

Một phần quan trọng trong hình học không gian lớp 11 là xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng. Hai đường thẳng trong không gian có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Để xác định vị trí tương đối, ta cần xem xét các yếu tố như quan hệ giữa các đường thẳng với mặt phẳng chứa chúng hoặc các vector chỉ phương của chúng. Câu hỏi trong đề thi có thể yêu cầu học sinh phân tích vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước trong một hình chóp hoặc lăng trụ, dựa vào các dữ kiện về các cạnh, mặt của hình đó. Học sinh cần nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng, chẳng hạn như điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau. Khả năng hình dung không gian và sử dụng các kiến thức về vector để phân tích bài toán là rất cần thiết. Một số câu hỏi có thể phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức khác nhau để tìm ra vị trí tương đối chính xác của hai đường thẳng.

Đề thi cũng sẽ kiểm tra khả năng xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian. Một đường thẳng và một mặt phẳng có thể song song hoặc cắt nhau. Nếu cắt nhau, giao điểm của chúng là một điểm duy nhất. Để xác định vị trí tương đối, học sinh cần phân tích mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa trên các dữ kiện cho trước, chẳng hạn như vị trí của đường thẳng đối với các đường thẳng nằm trên mặt phẳng hoặc các vector pháp tuyến của mặt phẳng. Câu hỏi có thể yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng hoặc tìm giao điểm của một đường thẳng và mặt phẳng. Khả năng vận dụng định lý về đường thẳng và mặt phẳng song song, đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau, và khả năng hình dung không gian ba chiều là rất quan trọng. Học sinh cũng cần phải thành thạo việc sử dụng các công cụ hình học không gian để phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp.

Một chủ đề quan trọng khác trong hình học không gian là tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng (nếu chúng không song song) là một đường thẳng. Để tìm giao tuyến, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó. Các điểm chung này thường được tìm thấy bằng cách tìm giao điểm của các đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng. Câu hỏi trong đề thi có thể yêu cầu học sinh tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước trong một hình chóp hoặc lăng trụ. Học sinh cần phải hiểu rõ cách xác định các điểm chung của hai mặt phẳng và cách biểu diễn giao tuyến một cách chính xác. Khả năng nhận biết các yếu tố hình học trong không gian và khả năng tư duy logic, suy luận để tìm ra giao tuyến là rất cần thiết. Việc nắm vững các tính chất của hình chóp và lăng trụ, các định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán này.

Đề thi có thể bao gồm các bài toán về vị trí tương đối của ba mặt phẳng trong không gian. Ba mặt phẳng có thể có nhiều vị trí tương đối khác nhau, ví dụ như chúng có thể đồng quy tại một điểm, hoặc cắt nhau theo ba đường thẳng đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, hoặc song song với nhau. Câu hỏi thường yêu cầu học sinh phân tích vị trí tương đối của ba mặt phẳng cho trước và xác định các yếu tố hình học liên quan như giao tuyến giữa các mặt phẳng. Để giải quyết loại bài tập này, học sinh cần phải có khả năng hình dung không gian ba chiều tốt, hiểu rõ các tính chất hình học của mặt phẳng, và thành thạo các kỹ năng phân tích và chứng minh toán học. Khả năng tìm giao tuyến giữa các mặt phẳng và xác định mối quan hệ giữa chúng là rất quan trọng. Một số bài toán có thể đòi hỏi sự kết hợp giữa các kỹ năng đã học về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng để tìm ra đáp án chính xác.

Phần phép biến hình trong đề thi toán 11 có thể bao gồm các câu hỏi về phép quay. Phép quay là một phép biến hình trong mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M' đến O, và góc lượng giác (OM, OM') bằng góc quay cho trước. Các câu hỏi có thể yêu cầu học sinh tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, hoặc một hình qua phép quay. Câu 35 là một ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, phép quay tâm O, góc 2π/3 biến đường tròn C: x² + y² - 6x - 6y - 7 = 0 thành đường tròn C'. Khi đó, phương trình đường tròn C' là gì? Để giải quyết các bài toán về phép quay, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của phép quay, nắm vững cách xác định tọa độ của ảnh một điểm qua phép quay, và biết cách áp dụng phép quay vào các hình học khác nhau. Việc sử dụng công thức tọa độ của phép quay và khả năng vận dụng các tính chất của phép quay là rất quan trọng. Học sinh cần phải thành thạo việc xác định ảnh của các hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép quay.

Đề thi có thể bao gồm các câu hỏi liên quan đến phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến là một phép biến hình trong mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho vecto MM' bằng một vecto cho trước. Các câu hỏi có thể yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, hoặc một hình qua phép tịnh tiến. Học sinh cần phải hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến, nắm vững cách xác định tọa độ của ảnh một điểm qua phép tịnh tiến, và biết cách áp dụng phép tịnh tiến vào các hình học khác nhau. Khả năng biểu diễn phép tịnh tiến bằng vecto và sử dụng công thức tọa độ để tìm ảnh của các điểm, đường thẳng và hình là rất quan trọng. Học sinh cần phải thành thạo việc xác định ảnh của các hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép tịnh tiến, đồng thời cần hiểu rõ mối quan hệ giữa các tính chất của hình học trước và sau khi thực hiện phép tịnh tiến.

Phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn tỉ số đồng dạng giữa các đoạn thẳng. Đề thi có thể kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về phép đồng dạng thông qua việc tìm ảnh của các hình sau khi thực hiện phép đồng dạng, hoặc xác định các yếu tố liên quan như tâm đồng dạng, tỉ số đồng dạng. Học sinh cần nắm vững các loại phép đồng dạng như phép vị tự, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự và phép dời hình. Các câu hỏi có thể yêu cầu học sinh tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, hoặc một hình qua phép đồng dạng. Khả năng hiểu rõ các tính chất của phép đồng dạng và cách tính toán tọa độ của ảnh các điểm sau khi thực hiện phép đồng dạng là cần thiết. Việc sử dụng công thức tọa độ và tính chất của phép đồng dạng sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán này. Học sinh cũng cần hiểu rõ mối quan hệ giữa phép đồng dạng và các phép biến hình khác như phép vị tự, phép quay, phép đối xứng.

Một số câu hỏi có thể liên quan đến khái niệm phép dời hình. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Câu hỏi có thể liên quan đến việc xác định phép biến hình nào là phép dời hình (Câu 86), hoặc tìm ảnh của một hình sau khi thực hiện liên tiếp nhiều phép biến hình (Câu 87). Để trả lời được các câu hỏi này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của phép dời hình và các tính chất của nó. Họ cần phân biệt được phép dời hình với các phép biến hình khác và biết cách xác định ảnh của các hình sau khi thực hiện phép dời hình hoặc chuỗi các phép dời hình. Khả năng nhận dạng các loại phép dời hình như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm là rất cần thiết để giải quyết các bài toán này.