Ôn Thi THPT: Khối Đa Diện

Đoạn văn bản định nghĩa hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện: (a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung; (b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như vậy được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh và cạnh của các đa giác được gọi là đỉnh và cạnh của hình đa diện. Một điểm quan trọng được nhấn mạnh là mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Khái niệm khối đa diện được liên hệ chặt chẽ với hình đa diện, mỗi khối đa diện được hoàn toàn xác định theo hình đa diện tương ứng và ngược lại. Điều này thiết lập mối quan hệ một-một giữa khái niệm hình học và khái niệm không gian ba chiều.

Phần này tập trung vào việc phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Cụ thể, nếu một khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H1 và H2 sao cho H1 và H2 không có điểm trong nào chung, thì ta nói khối đa diện H có thể chia được thành hai khối đa diện H1 và H2. Đây là một khái niệm quan trọng trong việc phân tích và nghiên cứu tính chất của khối đa diện, đặc biệt trong việc tính toán thể tích và diện tích bề mặt. Việc hiểu rõ cách phân chia và lắp ghép này là cơ sở để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về khối đa diện, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến tính toán thể tích hoặc tìm kiếm các mối quan hệ hình học giữa các phần của khối đa diện.

Một câu hỏi trắc nghiệm được đặt ra về số cạnh của hình đa diện. Các phương án trả lời bao gồm: lớn hơn 6, lớn hơn hoặc bằng 8, lớn hơn hoặc bằng 6, và lớn hơn 7. Câu hỏi này kiểm tra sự hiểu biết cơ bản về cấu trúc của hình đa diện và mối quan hệ giữa số cạnh, số đỉnh và số mặt. Việc xác định chính xác số cạnh tối thiểu của một hình đa diện là cần thiết để hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của nó. Câu hỏi này góp phần củng cố kiến thức về các tính chất hình học cơ bản của khối đa diện, chuẩn bị cho các bài toán phức tạp hơn về hình học không gian.

Phần này đề cập đến khái niệm khối đa diện lồi thông qua các câu hỏi trắc nghiệm. Các phương án trả lời liên quan đến việc lắp ghép hai khối hộp tạo thành khối đa diện lồi, khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi, và khối tứ diện là khối đa diện lồi. Những câu hỏi này giúp củng cố khái niệm về khối đa diện lồi, một loại khối đa diện đặc biệt quan trọng trong hình học. Khái niệm khối đa diện lồi rất quan trọng vì nó có nhiều tính chất đặc biệt và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học và ứng dụng. Việc làm rõ khái niệm này giúp người học hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của các khối đa diện.

Một phần đáng kể các câu hỏi tập trung vào việc tính toán thể tích của khối chóp. Các bài toán đa dạng về hình dạng đáy (tam giác vuông cân, tam giác đều, hình chữ nhật) và vị trí của đỉnh chóp so với đáy (vuông góc, tạo góc). Ví dụ, một bài toán yêu cầu tính thể tích khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), và góc giữa (SBC) và (ABC) là 30 độ. Một bài toán khác lại khảo sát sự thay đổi thể tích khối chóp đều khi chiều cao tăng lên n lần và cạnh đáy giảm đi n lần. Những bài toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững công thức tính thể tích khối chóp và khả năng vận dụng các kiến thức hình học không gian khác như tính góc, độ dài cạnh, diện tích đáy.

Ngoài khối chóp, thể tích khối lăng trụ cũng được đề cập đến trong các câu hỏi trắc nghiệm. Một bài toán điển hình là tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' với đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của AB, và góc giữa AC' và mặt đáy là 60 độ. Một bài toán khác liên quan đến việc thay đổi thể tích của khối lăng trụ tam giác đều khi chiều cao tăng gấp đôi. Những bài toán này yêu cầu người giải phải hiểu rõ công thức tính thể tích khối lăng trụ và vận dụng các kỹ năng hình học không gian như tìm hình chiếu, tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, xác định vị trí điểm trong không gian.

Một số câu hỏi tập trung vào việc tính toán thể tích của khối tứ diện. Ví dụ, một bài toán yêu cầu tính thể tích khối tứ diện ABCD với AB, AC, AD đôi một vuông góc và biết độ dài các cạnh AB, AC, AD. Một bài toán khác phức tạp hơn, yêu cầu tìm cạnh x của tứ diện ABCD sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất, trong đó biết AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2√3. Những bài toán này đòi hỏi người học phải thành thạo các công thức tính thể tích tứ diện, đặc biệt trong trường hợp các cạnh đôi một vuông góc hoặc có các quan hệ hình học phức tạp hơn. Khả năng hình dung không gian và vận dụng các công thức toán học chính xác là rất quan trọng để giải quyết các bài toán này.

Ngoài các khối đa diện cơ bản, một số bài toán liên quan đến việc tính toán thể tích còn kết hợp với các khái niệm hình học không gian khác như góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hình chiếu vuông góc, khoảng cách. Ví dụ, một bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC trong một hình chóp cụ thể. Một bài toán khác yêu cầu tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC'A') trong một hình lăng trụ. Những bài toán này đòi hỏi người giải phải có khả năng tổng hợp kiến thức và vận dụng linh hoạt các công thức, định lý hình học không gian để tìm ra lời giải.

Phần này mô tả quá trình tạo thành mặt tròn xoay bằng cách quay một đường cong (C) nằm trong mặt phẳng (P) quanh một đường thẳng ∆ nằm trong (P). Mỗi điểm M trên (C) sẽ vạch ra một đường tròn có tâm thuộc ∆ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆. Đoạn văn bản đặc biệt nhấn mạnh vào trường hợp đường thẳng ∆ đi qua tâm O của đường cong (C) và cắt (C) tại hai điểm A, B, khi đó AB là đường kính của (C). Nhận xét về vô số tiếp tuyến của mặt cầu tại một điểm trên mặt cầu được đưa ra. Tuy nhiên, phần này chỉ đề cập đến khái niệm chung về mặt tròn xoay mà không đi sâu vào các tính chất cụ thể của mặt nón, trụ, cầu. Tóm lại, đây là phần giới thiệu khái niệm cơ bản về sự hình thành mặt tròn xoay, đặt nền móng cho việc hiểu các hình dạng cụ thể như mặt nón được trình bày sau này.

Phần bài tập trắc nghiệm bao gồm các câu hỏi liên quan đến hình nón. Một câu hỏi đề cập đến hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O bán kính r, và một mặt phẳng đi qua đỉnh S cắt hình nón tạo thành một tam giác SAB vuông cân tại S. Bài toán yêu cầu tính diện tích tam giác SAB. Một câu hỏi khác liên quan đến việc cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh và trải ra thành một hình quạt. Bài toán tìm mối quan hệ giữa diện tích hình quạt và diện tích xung quanh của hình nón. Những bài toán này đòi hỏi người giải phải hiểu rõ các khái niệm về hình nón, đường sinh, diện tích xung quanh và khả năng vận dụng các công thức liên quan. Việc tính toán diện tích và các đại lượng hình học khác của hình nón được nhấn mạnh trong phần này.

Phần bài tập cũng bao gồm các câu hỏi liên quan đến hình trụ. Một bài toán điển hình là tính diện tích của thiết diện ABB'A' khi một mặt phẳng song song với trục hình trụ cắt hình trụ, biết diện tích xung quanh của hình trụ và thiết diện là hình vuông. Một bài toán khác đề cập đến việc cắt mặt xung quanh hình trụ theo một đường sinh và trải ra thành hình chữ nhật. Bài toán tìm mối quan hệ giữa diện tích hình chữ nhật này và diện tích xung quanh của hình trụ. Những bài toán này kiểm tra sự hiểu biết của người học về các khái niệm liên quan đến hình trụ như diện tích xung quanh, đường sinh, chiều cao và khả năng áp dụng các công thức tính toán liên quan đến hình trụ. Quan hệ giữa các yếu tố hình học của hình trụ được khai thác thông qua các bài tập trắc nghiệm.

Phần này đưa ra một số câu hỏi liên quan đến mặt cầu. Một mệnh đề sai về mặt cầu được đưa ra để kiểm tra sự hiểu biết của học sinh. Các mệnh đề này liên quan đến tính chất của mặt cầu như việc cắt mặt cầu bởi các mặt phẳng tạo thành các đường tròn bằng nhau, khả năng nội tiếp hình chóp trong mặt cầu. Một bài toán khác liên quan đến việc tính diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là đường tròn tạo bởi mặt phẳng cắt mặt cầu và chiều cao cụ thể. Một câu hỏi khác liên quan đến việc xếp các quả bóng bàn (hình cầu) vào trong một hộp hình trụ, tìm mối quan hệ giữa tổng diện tích của các quả bóng bàn và diện tích xung quanh của hộp trụ. Những bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất của mặt cầu, mối quan hệ giữa mặt cầu và các hình khối khác, cũng như khả năng áp dụng các công thức tính toán diện tích và thể tích.

Phần này trình bày phương pháp lập phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Phương pháp được đề cập dựa trên việc xác định vectơ pháp tuyến (VTPT) và một điểm thuộc mặt phẳng. Quy trình bao gồm ba bước: (1) Từ giả thiết, xác định các vectơ và yếu tố cần thiết; (2) Xác định tọa độ VTPT và tọa độ một điểm của mặt phẳng; (3) Thay vào phương trình tổng quát của mặt phẳng và thu gọn. Tuy nhiên, chi tiết về cách xác định VTPT và điểm từ các giả thiết khác nhau không được trình bày cụ thể trong đoạn văn bản này. Chỉ có hướng dẫn chung về phương pháp, nhấn mạnh vào việc sử dụng vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng để thiết lập phương trình. Do đó, người đọc cần tham khảo thêm tài liệu khác để hiểu rõ hơn về các trường hợp cụ thể.

Tương tự như việc lập phương trình mặt phẳng, phần này hướng dẫn cách lập phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz. Phương pháp dựa trên việc xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu. Quy trình cũng gồm ba bước: (1) Từ giả thiết, xác định các vectơ và yếu tố liên quan; (2) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu; (3) Thay vào phương trình tổng quát của mặt cầu. Tuy nhiên, giống như phần lập phương trình mặt phẳng, chi tiết về cách xác định tâm và bán kính từ các giả thiết cụ thể không được đề cập rõ ràng. Chỉ có hướng dẫn chung về phương pháp, nhấn mạnh vào việc xác định tâm và bán kính để thiết lập phương trình. Người đọc cần bổ sung kiến thức từ các nguồn khác để hiểu rõ hơn các bước thực hiện trong những trường hợp khác nhau.

Phần này bao gồm các bài tập trắc nghiệm liên quan đến phương trình mặt cầu. Một bài toán yêu cầu viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. Các phương án lựa chọn được đưa ra nhưng không có lời giải chi tiết. Một bài toán khác liên quan đến việc xét ba mặt phẳng trong không gian Oxyz và yêu cầu xác định mệnh đề sai. Những bài toán này giúp người học vận dụng kiến thức đã học về phương trình mặt cầu vào việc giải quyết các vấn đề cụ thể. Tuy nhiên, việc thiếu lời giải chi tiết làm giảm hiệu quả học tập. Người học cần tự mình giải quyết các bài toán và tham khảo thêm tài liệu để hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương trình mặt cầu trong giải toán hình học không gian.

Phần này chứa các bài toán phức tạp hơn, kết hợp việc sử dụng phương trình mặt phẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz. Một bài toán liên quan đến việc tìm bán kính của đường tròn cố định mà hình chiếu vuông góc của một điểm A lên đường thẳng d (thuộc một mặt phẳng P và đi qua điểm B) luôn nằm trên đó. Một bài toán khác tìm giá trị của biểu thức T liên quan đến vectơ chỉ phương của một đường thẳng đi qua điểm M, thuộc mặt phẳng P và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Những bài toán này đòi hỏi người học có khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức về phương trình mặt phẳng, mặt cầu, hình chiếu, khoảng cách và các khái niệm hình học khác trong không gian Oxyz để giải quyết các bài toán phức tạp.