Ôn thi THPT: Đạo hàm & Đồ thị hàm số

Phần này hướng dẫn cách xác định tập xác định của một hàm số. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho hàm số f(x) có nghĩa. Việc tìm tập xác định là bước đầu tiên và rất quan trọng trong quá trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Một số hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm căn thức... có những quy tắc xác định tập xác định riêng. Nếu hàm số là hàm phân thức, điều kiện cần thỏa mãn là mẫu số khác 0. Nếu hàm số chứa căn bậc hai, biểu thức trong căn phải không âm. Nếu hàm số chứa logarit, biểu thức trong logarit phải dương. Nắm vững các quy tắc này là nền tảng để giải quyết các bài toán về tập xác định một cách chính xác. Trong quá trình giải toán, cần phải chú ý đến những điều kiện ràng buộc đối với biến số để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Hiểu rõ khái niệm tập xác định giúp ta tránh những sai sót trong quá trình tính toán và vẽ đồ thị.

Sau khi xác định tập xác định, bước tiếp theo là tính đạo hàm của hàm số f'(x). Đạo hàm giúp ta xác định được chiều biến thiên của hàm số. Các điểm mà đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc không xác định được gọi là các điểm dừng của hàm số. Tại các điểm dừng này, hàm số có thể đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Việc tìm các điểm dừng là một phần quan trọng trong quá trình khảo sát hàm số. Tìm điểm dừng cho phép ta xác định được những khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến. Bằng cách nghiên cứu dấu của đạo hàm, ta có thể suy luận về sự biến thiên của hàm số. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Ngược lại, nếu đạo hàm âm, hàm số nghịch biến. Việc xác định chính xác các điểm dừng và sự biến thiên của hàm số giúp ta vẽ đồ thị chính xác hơn.

Để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, ta cần tìm các giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng hoặc tiến đến các điểm mà hàm số không xác định. Giới hạn giúp ta xác định được các tiệm cận của đồ thị. Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số tiến đến vô cùng tại một điểm x cụ thể. Tiệm cận ngang xuất hiện khi hàm số tiến đến một giá trị nhất định khi x tiến đến vô cùng. Việc tìm giới hạn và tiệm cận giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x lớn hoặc nhỏ vô cùng. Một hàm số đa thức sẽ không có tiệm cận. Tuy nhiên, các hàm số khác như hàm phân thức, hàm mũ, hàm logarit… có thể có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Xác định được tiệm cận giúp ta có một cái nhìn tổng quan hơn về hình dạng đồ thị hàm số và từ đó vẽ đồ thị một cách chính xác hơn, tránh sai sót.

Sau khi tìm được tập xác định, đạo hàm, điểm dừng, giới hạn và tiệm cận, ta có thể lập bảng biến thiên. Bảng biến thiên tóm tắt các thông tin quan trọng về sự biến thiên của hàm số, bao gồm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận... Bảng biến thiên là công cụ hữu ích giúp ta vẽ đồ thị hàm số chính xác và dễ hiểu. Từ bảng biến thiên, ta có thể dễ dàng phác họa đồ thị hàm số. Việc kết hợp thông tin từ các bước trước giúp ta vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và đầy đủ nhất, phản ánh đầy đủ các tính chất của hàm số. Một đồ thị chính xác sẽ giúp ta giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số một cách hiệu quả và chính xác hơn.

Phần này trình bày phương pháp sử dụng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình. Phương pháp này giúp ta giải quyết vấn đề tìm số nghiệm của phương trình một cách trực quan và hiệu quả. Thông thường, số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chính xác đóng vai trò then chốt trong việc áp dụng phương pháp này. Bằng cách quan sát đồ thị, ta có thể dễ dàng xác định số giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình. Đây là một kỹ thuật hữu ích trong giải toán, đặc biệt là đối với các phương trình phức tạp khó giải bằng phương pháp đại số.

Một số câu hỏi trong phần này liên quan đến việc xác định vận tốc lớn nhất của một vật chuyển động trong một khoảng thời gian nhất định. Vận tốc được tính toán dựa trên công thức quãng đường s(t) là hàm theo thời gian t. Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm quãng đường s(t) theo thời gian t để tìm được hàm vận tốc v(t) = s'(t). Sau đó, ta khảo sát hàm vận tốc v(t) để tìm giá trị cực đại của hàm số này trong khoảng thời gian cho trước. Câu hỏi thường yêu cầu tìm vận tốc lớn nhất trong một khoảng thời gian cụ thể (ví dụ: trong 10 giây, 9 giây...). Phương pháp giải quyết các bài toán này là tìm đạo hàm của hàm quãng đường, tìm nghiệm của đạo hàm, kiểm tra giá trị vận tốc tại các điểm đó và tại biên của khoảng thời gian để xác định vận tốc lớn nhất. Các hàm quãng đường thường được cho dưới dạng hàm đa thức bậc 2 hoặc bậc 3, giúp việc tính đạo hàm và tìm cực đại trở nên dễ dàng hơn.

Nhiều bài tập trong phần này ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến chuyển động của vật thể. Thông thường, bài toán sẽ cho biết công thức tính quãng đường s(t) theo thời gian t. Vận tốc tức thời tại thời điểm t được tính bằng đạo hàm cấp một của hàm quãng đường: v(t) = s'(t). Gia tốc tức thời tại thời điểm t được tính bằng đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường: a(t) = s''(t). Các bài toán thường yêu cầu tìm vận tốc hoặc gia tốc tại một thời điểm cụ thể hoặc tìm vận tốc/gia tốc lớn nhất/nhỏ nhất trong một khoảng thời gian xác định. Việc tìm vận tốc lớn nhất thường liên quan đến việc tìm cực đại của hàm vận tốc v(t), trong khi tìm gia tốc lớn nhất liên quan đến việc tìm cực đại của hàm gia tốc a(t). Hiểu rõ mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và gia tốc, cùng với việc thành thạo kỹ thuật tính đạo hàm và tìm cực trị, là yếu tố quan trọng để giải quyết thành công các bài toán này.

Phần này tập trung vào các bài toán liên quan đến lãi kép. Công thức tính lãi kép được đề cập, cho phép tính toán số tiền cả vốn lẫn lãi sau một thời gian nhất định. Các bài toán thường cho biết số tiền gửi ban đầu (gốc), lãi suất hàng năm hoặc hàng tháng, và thời gian gửi tiền. Dựa trên các thông tin này, người giải cần áp dụng công thức lãi kép để tính toán số tiền thu được sau khi đáo hạn. Một số bài toán phức tạp hơn có thể yêu cầu tính toán số tiền cần gửi ban đầu để đạt được một số tiền mục tiêu sau một thời gian cụ thể. Lãi suất trong các bài toán này có thể là lãi suất cố định hoặc lãi suất thay đổi theo thời gian. Khả năng áp dụng công thức lãi kép và hiểu rõ về các thông số liên quan là rất cần thiết để giải quyết các bài toán này một cách chính xác.

Một dạng bài toán lãi kép được đề cập là lãi kép liên tục. Công thức tính toán lãi kép liên tục được trình bày, sử dụng hằng số e (số Euler). Trong trường hợp lãi kép liên tục, lãi suất được tính liên tục trên toàn bộ thời gian gửi tiền, dẫn đến số tiền thu được lớn hơn so với trường hợp lãi kép kì hạn. Các bài toán thường yêu cầu tính toán số tiền cả vốn lẫn lãi sau một khoảng thời gian nhất định khi áp dụng hình thức lãi kép liên tục. Khác với lãi kép kì hạn, lãi kép liên tục yêu cầu sử dụng công thức toán học phức tạp hơn, bao gồm hàm mũ tự nhiên. Việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng nó là điều kiện cần thiết để giải quyết chính xác các bài toán này.

Phần này đề cập đến các bài toán liên quan đến vay nợ và trả góp. Các bài toán thường mô tả một khoản vay với lãi suất nhất định, thời gian trả nợ và số tiền trả hàng tháng. Người giải cần xác định số tiền trả hàng tháng hoặc thời gian trả hết nợ dựa trên các thông số đã cho. Một số bài toán có thể phức tạp hơn, yêu cầu tính toán số tiền trả hàng tháng khi lãi suất thay đổi theo thời gian. Trong một số trường hợp, người giải cần phải sử dụng công thức toán học hoặc các phương pháp tính toán tài chính để giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả. Việc nắm vững các công thức toán học liên quan và khả năng ứng dụng chúng trong các tình huống thực tế là cần thiết để giải quyết đúng các vấn đề về vay nợ và trả góp.

Các ví dụ minh họa trong phần này cho thấy ứng dụng của lãi kép và các công thức tài chính trong các tình huống thực tế. Ví dụ như tính toán số tiền trong sổ tiết kiệm sau một thời gian, tính toán số tiền cần trả hàng tháng khi mua nhà trả góp, hay dự đoán dân số trong tương lai dựa trên tỉ lệ tăng trưởng. Mỗi ví dụ đều cung cấp một bối cảnh thực tế, giúp người học hiểu rõ hơn cách áp dụng các công thức toán học vào giải quyết các vấn đề tài chính. Việc hiểu rõ các tình huống thực tế và khả năng liên hệ chúng với các khái niệm toán học là yếu tố quan trọng trong việc vận dụng kiến thức đã học. Những ví dụ này giúp người học thấy được sự hữu ích của các công thức và lý thuyết đã học trong đời sống.

Phần này giới thiệu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Công thức được trình bày là S = ∫_a^b f(x)dx. Điều kiện cần lưu ý là hàm số f(x) phải liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu hàm số f(x) giữ nguyên dấu (luôn dương hoặc luôn âm) trên đoạn [a, b], thì việc tính tích phân sẽ đơn giản hơn. Các bài toán thường yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Người giải cần xác định đúng cận tích phân (a và b) và hàm số f(x) để tính toán diện tích một cách chính xác. Hiểu rõ công thức và cách xác định cận tích phân là điều kiện tiên quyết để giải đúng các bài toán liên quan đến diện tích hình phẳng.

Một ứng dụng quan trọng của tích phân là tính thể tích khối tròn xoay. Khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta thu được một khối tròn xoay. Công thức tính thể tích khối tròn xoay này được cho bởi V = π∫_a^b [f(x)]² dx. Cần lưu ý rằng hàm số f(x) phải liên tục trên đoạn [a, b]. Các bài toán thường yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục Ox. Người giải cần xác định đúng cận tích phân (a và b) và hàm số f(x) để tính toán thể tích một cách chính xác. Khả năng vận dụng công thức tích phân và xác định đúng cận tích phân là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán này.

Ngoài việc tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, chuyên đề này còn đề cập đến cách tính thể tích của một vật thể khi biết diện tích thiết diện của nó. Nếu vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a và x = b, và diện tích thiết diện của vật thể vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là S(x), thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức V = ∫_a^b S(x)dx. Điều kiện là hàm số S(x) phải liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Các bài toán thường cho biết hình dạng của thiết diện (ví dụ: hình chữ nhật, hình vuông...) và yêu cầu tính thể tích của vật thể. Người giải cần tìm được công thức tính diện tích thiết diện S(x) theo x và áp dụng công thức tích phân để tính thể tích. Khả năng hình dung không gian và vận dụng công thức tích phân là cần thiết để giải quyết các bài toán loại này.

Một số bài toán sử dụng tích phân để tính toán quãng đường vật di chuyển dựa trên đồ thị vận tốc. Nếu đồ thị vận tốc v(t) của vật thể là một hàm số liên tục trên đoạn [a, b], thì quãng đường s mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b được tính bằng tích phân của hàm vận tốc: s = ∫_a^b v(t)dt. Các bài toán thường cho đồ thị vận tốc hoặc công thức vận tốc theo thời gian. Người giải cần xác định đúng cận tích phân (a và b) và hàm vận tốc v(t) để tính toán quãng đường. Khả năng hiểu và vận dụng tích phân trong ngữ cảnh vật lý, đặc biệt là liên hệ giữa vận tốc và quãng đường, là điều quan trọng để giải quyết chính xác các bài toán này.

Phần này đề cập đến việc biểu diễn số phức z = x + yi (với x, y là các số thực) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong đó, x là phần thực và y là phần ảo của số phức. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ (x, y). Việc biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ giúp trực quan hóa số phức và các phép toán liên quan. Hiểu rõ cách biểu diễn số phức là cơ sở để giải quyết các bài toán về tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước. Một số bài tập yêu cầu xác định vị trí của điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ dựa trên các điều kiện về phần thực và phần ảo của số phức đó. Việc nắm vững cách biểu diễn số phức là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức sâu hơn về số phức.

Một số bài toán yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một điều kiện nào đó. Điều kiện này thường là một phương trình hoặc bất phương trình liên quan đến z. Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường là một đường tròn, một đường thẳng, hoặc một miền trên mặt phẳng tọa độ. Để tìm tập hợp điểm biểu diễn, ta thường biến đổi điều kiện cho trước sao cho nó trở thành một phương trình hoặc bất phương trình liên quan đến tọa độ x và y của điểm biểu diễn. Ví dụ, điều kiện |z - z₀| = R sẽ biểu diễn một đường tròn tâm z₀ bán kính R trên mặt phẳng tọa độ. Hiểu rõ các dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức và cách tìm chúng là kỹ năng quan trọng để giải quyết các bài toán này.

Môđun của số phức z = x + yi được định nghĩa là |z| = √(x² + y²). Môđun của số phức z chính là khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ. Các bài toán thường yêu cầu tính môđun của số phức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức thỏa mãn một điều kiện nào đó. Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức thường liên quan đến việc tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất từ gốc tọa độ đến các điểm thuộc một tập hợp nào đó trên mặt phẳng phức. Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của môđun số phức là rất quan trọng để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.