Ôn Thi THPT: Lượng Giác & Toán

Một số bài toán trong phần này tập trung vào việc tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên các đối tượng từ một tập hợp. Ví dụ điển hình là bài toán kiểm tra chất lượng sữa: có 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 hộp để kiểm tra. Bài toán yêu cầu tính xác suất để 3 hộp được chọn có đủ cả 3 loại sữa (cam, dâu, nho). Đây là một bài toán xác suất tổ hợp, đòi hỏi phải tính số cách chọn 3 hộp sữa từ tổng số 12 hộp, sau đó tính số cách chọn sao cho có đủ 3 loại sữa và cuối cùng tính tỉ lệ giữa hai số đó để tìm ra xác suất. Một ví dụ khác liên quan đến Sở Y tế chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch từ 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở. Bài toán yêu cầu tính xác suất để ít nhất 2 đội từ các Trung tâm y tế cơ sở được chọn. Cả hai bài toán này đều minh họa cách áp dụng công thức xác suất vào các tình huống thực tế, đòi hỏi khả năng phân tích và tính toán cẩn thận để tìm ra đáp án chính xác. Sự kết hợp giữa tính toán xác suất và nguyên lý đếm là điểm nhấn của dạng bài tập này.

Một phần quan trọng của chủ đề này là ứng dụng của hoán vị và chỉnh hợp để giải quyết các bài toán sắp xếp và lựa chọn. Bài toán về 8 vận động viên về đích trên 8 đường bơi, yêu cầu tính số cách sắp xếp thứ hạng, là một ví dụ điển hình về hoán vị. Số cách sắp xếp thứ hạng chính là số hoán vị của 8 phần tử, thể hiện rõ ràng khái niệm hoán vị trong bài toán. Bài toán khác liên quan đến đa giác lồi 15 cạnh, yêu cầu tính số vectơ có thể tạo thành từ các đỉnh của đa giác, là một ứng dụng của chỉnh hợp. Số vectơ được tính bằng số chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử, cho thấy sự liên hệ mật thiết giữa hình học và tổ hợp. Một câu hỏi khác liên quan đến việc bầu chọn giám đốc, phó giám đốc và kế toán trưởng cho câu lạc bộ Toán học có 14 thành viên, cũng là một bài toán tổ hợp. Đây là một ví dụ khác về bài toán lựa chọn, việc tính số cách chọn khác nhau sẽ cho ta đáp án chính xác. Tóm lại, phần này nhấn mạnh vào việc vận dụng linh hoạt hoán vị và chỉnh hợp để giải quyết các bài toán đếm trong nhiều bối cảnh khác nhau, đòi hỏi người giải phải nắm vững các công thức và nguyên lý cơ bản của tổ hợp.

Phần này bao gồm các bài toán xác suất phức tạp hơn, đòi hỏi sự kết hợp nhiều kỹ thuật và kiến thức. Ví dụ, bài toán gieo súc sắc hai lần, tìm xác suất để phương trình bậc hai x² + bx + c = 0 (b, c là số chấm xuất hiện) vô nghiệm. Bài toán này đòi hỏi không chỉ hiểu về xác suất mà còn kiến thức về phương trình bậc hai, từ đó suy luận ra điều kiện để phương trình vô nghiệm và xác định xác suất tương ứng. Một bài toán khác liên quan đến việc chọn 6 số dương từ tập {1, 2, 3,..., 10} và sắp xếp theo thứ tự tăng dần, yêu cầu tìm xác suất để số 3 đứng ở vị trí thứ hai. Bài toán này đòi hỏi phải hiểu rõ cách sắp xếp và tính toán xác suất trong một không gian mẫu được xác định rõ ràng. Các bài toán về xác suất bắn trúng mục tiêu, chia táo cam chuối cho các cháu hay bài toán lập đoàn công tác từ các nhà toán học và vật lý đều minh họa cách áp dụng lý thuyết xác suất vào các tình huống đời sống thực tế. Điều quan trọng là khả năng phân tích bài toán, xác định không gian mẫu và các biến cố, từ đó áp dụng các công thức xác suất phù hợp để tìm ra lời giải chính xác. Các bài toán này kiểm tra sự hiểu biết toàn diện của học sinh về xác suất và khả năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn.

Phần này của tài liệu giới thiệu về phép dời hình và phép đồng dạng trong hình học. Phép dời hình được định nghĩa là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Một số ví dụ về phép dời hình bao gồm phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, và phép quay. Phép đồng dạng, mặt khác, là phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Phép đồng dạng có thể được tạo thành bằng cách kết hợp phép vị tự và phép quay. Tài liệu đề cập đến các tính chất quan trọng của cả hai loại phép biến hình này, làm nền tảng cho việc giải quyết các bài tập sau đó. Việc hiểu rõ định nghĩa và tính chất của phép dời hình và phép đồng dạng là điều kiện tiên quyết để có thể áp dụng chúng vào việc giải các bài toán cụ thể, tìm ảnh của các hình học qua các phép biến đổi này. Tài liệu không đi sâu vào chứng minh các tính chất toán học mà tập trung vào việc làm rõ khái niệm và cung cấp các ví dụ minh họa.

Phần này tập trung vào việc áp dụng phép dời hình và phép đồng dạng để tìm ảnh của các hình học như đường thẳng, đường tròn và tam giác. Các bài toán yêu cầu xác định ảnh của một đường thẳng, một đường tròn hoặc một tam giác cụ thể sau khi thực hiện một hoặc nhiều phép biến hình liên tiếp. Ví dụ, tìm ảnh của đường thẳng d: x = 2√2 qua phép đồng dạng được tạo bởi phép vị tự tâm O tỉ số k1 và phép đối xứng qua trục Oy; tìm ảnh của đường tròn (C): (x-2)² + (y-2)² = 4 qua phép đồng dạng liên tiếp là phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Oy. Những bài tập này đòi hỏi người giải phải hiểu rõ cách thức tác động của từng phép biến hình lên tọa độ của các điểm, từ đó xác định được tọa độ của các điểm ảnh và viết phương trình của hình ảnh mới. Khả năng hình dung hình học và khả năng tính toán chính xác là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán này. Tài liệu cũng đưa ra các câu hỏi về số trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn, hay số tâm đối xứng của hình gồm hai đường tròn cùng bán kính, giúp củng cố kiến thức về tính chất đối xứng của các hình học.

Phần này đề cập đến phép đồng dạng hợp thành, được tạo ra bằng cách thực hiện liên tiếp nhiều phép biến hình. Các bài toán thường yêu cầu xác định ảnh của một hình học sau khi trải qua nhiều phép biến đổi. Ví dụ, tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng hợp thành gồm phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B tỉ số 2. Việc xác định ảnh của hình học trong trường hợp này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tính chất của từng phép biến hình và khả năng tính toán chính xác. Ngoài ra, tài liệu cũng đưa ra các câu hỏi về việc tìm ảnh của một đường tròn qua phép đồng dạng hợp thành của phép vị tự và phép quay. Các bài toán này có độ phức tạp cao hơn, đòi hỏi người giải phải có khả năng tổng hợp kiến thức và kỹ năng giải toán tốt, kết hợp các phép biến hình để tìm ra lời giải cuối cùng. Sự kết hợp giữa phép vị tự và phép quay để tạo ra phép đồng dạng, hay việc tìm ảnh của hình học sau chuỗi phép biến hình phức tạp là điểm đặc trưng của phần này.