Hàm số bậc nhất: Đồ thị & Hệ phương trình

Phần này bắt đầu bằng việc giới thiệu một phương trình đường thẳng tổng quát: (m+2)x + (m-3)y - m + 8 = 0, trong đó m là tham số. Mục tiêu chính là chứng minh rằng bất kể giá trị của tham số m là bao nhiêu, đường thẳng này luôn luôn đi qua một điểm cố định, cụ thể là điểm A(-1, 2). Chứng minh này yêu cầu biến đổi phương trình đường thẳng để loại bỏ tham số m và tìm được một phương trình mới chỉ chứa tọa độ x và y. Việc thay tọa độ của điểm A(-1, 2) vào phương trình mới sẽ cho thấy phương trình được thỏa mãn, từ đó khẳng định điểm A luôn nằm trên đường thẳng bất kể giá trị của m. Đây là một bài toán điển hình trong chương trình hình học tọa độ, giúp học sinh làm quen với khái niệm tham số và khả năng vận dụng các kỹ thuật đại số để giải quyết vấn đề hình học. Phần này nhấn mạnh vào kỹ thuật biến đổi đại số để chứng minh một tính chất hình học, một kỹ thuật thường gặp trong các bài toán hình học giải tích.

Tiếp theo là phần bài tập vận dụng, tập trung vào việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng và tính toán trên hình vẽ. Một dạng bài tập yêu cầu tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC, trong đó tọa độ các điểm A, B, C đã được xác định hoặc có thể tìm được từ các dữ kiện bài toán. Một dạng bài tập khác yêu cầu tính góc tạo bởi một đường thẳng cho trước (ví dụ: y = 0.5x + 2) với trục Ox. Đây là bài toán vận dụng kiến thức về góc trong tam giác và các công thức lượng giác. Một dạng bài tập nữa yêu cầu tính chu vi và diện tích của tam giác ABC, đòi hỏi việc kết hợp kiến thức về hình học phẳng và hệ tọa độ. Các bài tập này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đòi hỏi sự hiểu biết về mối liên hệ giữa hình học và đại số, củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng và các tính chất hình học cơ bản.

Phần này đề cập đến việc vẽ đồ thị hàm số tuyến tính trên cùng một hệ trục tọa độ. Cụ thể, một ví dụ đưa ra yêu cầu vẽ đồ thị của hai hàm số y = 0.5x + 2 và y = 5 – 2x trên cùng một hệ trục tọa độ. Sau khi vẽ đồ thị, bài toán tiếp tục yêu cầu tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này, được ký hiệu là điểm C. Ngoài ra, bài toán còn yêu cầu tìm tọa độ giao điểm của mỗi đường thẳng với trục Ox, được ký hiệu là A và B. Việc tìm tọa độ giao điểm đòi hỏi học sinh phải giải hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình của hai hàm số, và sử dụng kiến thức về giao điểm của đường thẳng với trục tọa độ (cho y=0 để tìm hoành độ giao điểm trên trục Ox). Các bài tập này nhằm củng cố kỹ năng vẽ đồ thị hàm số tuyến tính, giải hệ phương trình, và tìm tọa độ giao điểm, những kỹ năng cơ bản trong chương trình hình học tọa độ.

Sau khi tìm được tọa độ các điểm A, B, C, các bài tập tiếp theo yêu cầu thực hiện các phép tính dựa trên hình vẽ. Cụ thể, một bài tập yêu cầu tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC. Việc tính toán này dựa trên công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ Đề-các. Một bài tập khác yêu cầu tính góc tạo bởi đường thẳng y = 0.5x + 2 với trục Ox, sử dụng kiến thức về hệ số góc của đường thẳng và các công thức lượng giác. Một bài toán khác nữa yêu cầu tính chu vi và diện tích của tam giác ABC, đòi hỏi việc vận dụng các công thức tính chu vi và diện tích tam giác, kết hợp với việc sử dụng tọa độ của các đỉnh tam giác để tính độ dài các cạnh. Tất cả các bài tập này đều nhấn mạnh vào việc kết hợp giữa hình học và đại số, từ việc vẽ đồ thị hàm số đến việc ứng dụng các công thức tính toán để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học phẳng.

Một dạng bài tập khác yêu cầu xác định hàm số dựa trên đồ thị của nó. Ví dụ, bài toán yêu cầu xác định hàm số khi biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Điều này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và phương trình của hàm số, cụ thể là hệ số góc và điểm mà đồ thị đi qua. Những bài toán này giúp học sinh củng cố kiến thức về cách biểu diễn đồ thị hàm số và cách suy luận ngược lại từ đồ thị để tìm phương trình hàm số. Ngoài ra, một số bài tập mở rộng hơn yêu cầu tìm các điểm trên đồ thị có tính chất đặc biệt, ví dụ tìm điểm I thuộc parabol và cách đều các trục tọa độ Ox và Oy. Những bài tập này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về đồ thị hàm số và tính chất hình học của các điểm trên đồ thị, giúp học sinh phát triển tư duy giải quyết vấn đề một cách linh hoạt và toàn diện hơn.

Phần này bắt đầu bằng việc nhắc đến tầm quan trọng của việc biến đổi biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai về dạng chứa tổng và tích các nghiệm (S và P) để áp dụng hệ thức Vi-ét. Hệ thức Vi-ét là một công cụ quan trọng giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần tìm ra các nghiệm cụ thể. Đoạn văn mô tả cách biến đổi các biểu thức phức tạp hơn, ví dụ như x1² + x2², về dạng chứa S = x1 + x2 và P = x1x2. Một ví dụ minh họa được đưa ra để chỉ ra cách biến đổi x1² + x2² thành (x1 + x2)² - 2x1x2 = S² - 2P. Điều này giúp người đọc hiểu rõ hơn cách vận dụng các quy tắc đại số để biến đổi biểu thức về dạng phù hợp, làm tiền đề cho việc áp dụng hệ thức Vi-ét. Nhấn mạnh vào việc nhận biết và biến đổi biểu thức để xuất hiện tổng và tích các nghiệm là bước quan trọng để giải quyết hiệu quả các bài toán.

Phần này hướng dẫn cách áp dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết bài toán tìm tham số trong phương trình bậc hai. Khi biểu thức đã được biến đổi để xuất hiện tổng và tích các nghiệm, hệ thức Vi-ét sẽ được sử dụng để thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm và tham số. Một ví dụ minh họa cho phương trình (m-1)x² - 2mx + m - 4 = 0, giải thích cách sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm mối quan hệ giữa các nghiệm x1 và x2 mà không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán nhấn mạnh việc đặt điều kiện cho tham số để phương trình có hai nghiệm, thường là a ≠ 0 và Δ ≥ 0. Từ đó, hệ thức Vi-ét được dùng để biểu diễn tham số m thông qua tổng và tích các nghiệm, dẫn đến một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đây là một kỹ thuật quan trọng giúp giải quyết các bài toán có chứa tham số trong phương trình bậc hai.

Phần này trình bày phương pháp giải bài toán sử dụng hệ thức Vi-ét một cách tổng quát. Nó chỉ ra rằng bước quan trọng nhất là biến đổi biểu thức cần tính toán sao cho xuất hiện tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu biểu thức đã chứa sẵn tổng và tích các nghiệm, việc áp dụng hệ thức Vi-ét trở nên trực tiếp và đơn giản. Tuy nhiên, đối với những biểu thức phức tạp hơn, người giải cần phải biết cách biến đổi biểu thức về dạng phù hợp trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét. Phần này cũng nêu rõ cách tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = bx + c và y = ax² bằng cách giải phương trình bậc hai tương ứng, sau đó thay nghiệm vào công thức của hàm số để tìm tung độ giao điểm. Số nghiệm của phương trình bậc hai cũng tương ứng với số giao điểm giữa đường thẳng và parabol. Nhấn mạnh vào quy trình giải toán một cách hệ thống và logic, từ việc biến đổi biểu thức cho đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét và tìm tọa độ giao điểm.

Một số bài toán trong phần này thuộc dạng toán chuyển động, yêu cầu lập phương trình để giải quyết các vấn đề liên quan đến vận tốc, thời gian và quãng đường. Ví dụ, một bài toán về ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định, nếu tăng vận tốc thêm 20km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu giảm vận tốc 10km/h thì thời gian tăng thêm 1 giờ. Để giải quyết bài toán này, cần đặt ẩn cho vận tốc hoặc thời gian ban đầu, sau đó dựa vào mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường để lập phương trình. Giải phương trình sẽ cho ta tìm được vận tốc và thời gian ban đầu. Tương tự, một bài toán khác liên quan đến hai người đi xe máy ngược chiều nhau, gặp nhau ở giữa quãng đường, cũng được giải quyết bằng cách lập phương trình dựa trên vận tốc, thời gian và quãng đường của mỗi người. Phương pháp này đòi hỏi khả năng phân tích bài toán, đặt ẩn hợp lý và thành lập phương trình chính xác để tìm ra lời giải.

Một số bài toán khác thuộc dạng toán năng suất, liên quan đến công việc và thời gian hoàn thành. Ví dụ, một bài toán về tổ sản xuất may áo, nếu tăng năng suất thì thời gian hoàn thành sớm hơn. Để giải bài toán này, cần đặt ẩn cho năng suất hoặc thời gian ban đầu, sau đó sử dụng mối quan hệ giữa năng suất, thời gian và số lượng công việc để lập phương trình. Giải phương trình sẽ cho ta tìm được năng suất hoặc thời gian ban đầu. Một bài toán khác liên quan đến đội tình nguyện quét dọn đường, nếu mỗi tuần quét dọn vượt mức thì hoàn thành sớm hơn kế hoạch. Bài toán này cũng yêu cầu lập phương trình dựa trên năng suất (độ dài đường quét được mỗi tuần) và thời gian để tìm ra lời giải. Những bài toán này nhấn mạnh khả năng phân tích bài toán thực tế, chuyển đổi thông tin thành các phương trình toán học và giải phương trình để tìm đáp án.

Ngoài các dạng toán chuyển động và năng suất, phần này còn bao gồm các bài toán khác, đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức toán học. Ví dụ, một bài toán liên quan đến hai can đựng dầu, yêu cầu tính thể tích của mỗi can dựa trên các điều kiện rót dầu giữa hai can. Bài toán này cần sự phân tích tỉ lệ và lập hệ phương trình để giải quyết. Một bài toán khác liên quan đến số lượng ghế trong phòng họp, khi số người dự họp thay đổi thì số ghế cần phải thay đổi. Bài toán này đòi hỏi việc thiết lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa số người, số dãy ghế và số ghế mỗi dãy. Một bài toán nữa liên quan đến việc mua hàng tại siêu thị với giá khuyến mãi, đòi hỏi người giải phải thành lập phương trình dựa trên giá niêm yết và giá giảm. Những bài toán này đều cần khả năng lập phương trình dựa trên các điều kiện và dữ kiện cụ thể, phản ánh ứng dụng thực tiễn của toán học trong cuộc sống.

Một phần đáng kể trong các bài toán hình học liên quan đến đường tròn tập trung vào việc sử dụng các tính chất của tiếp tuyến. Ví dụ, có bài toán xét đường tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Các bài toán thường yêu cầu chứng minh các tính chất liên quan đến tiếp tuyến như MA = MB, góc AMO = góc BMO, tứ giác MAOB nội tiếp, hoặc mối quan hệ giữa các đoạn thẳng OM, OA, AM. Một số bài toán khác liên quan đến cát tuyến, cũng xét đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ cát tuyến MPQ (P nằm giữa M và Q). Bài toán có thể yêu cầu chứng minh các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng MP, MQ, MA, MB, hoặc tìm vị trí của cát tuyến để diện tích tam giác tạo bởi cát tuyến và tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất. Những bài toán này đòi hỏi kiến thức về các định lý liên quan đến tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn, và khả năng vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các tính chất.

Một số bài toán khác xoay quanh các khái niệm về dây cung và đường kính trong đường tròn. Ví dụ, có bài toán xét đường tròn (O) với dây cung AB cố định (AB không đi qua O). Điểm M thuộc cung lớn AB. Bài toán có thể yêu cầu chứng minh các mối quan hệ dựa trên định lý về đường kính và dây cung, hoặc tính chất của tam giác nội tiếp. Một số bài toán khác liên quan đến việc chứng minh sự đồng dạng giữa các tam giác hoặc tứ giác nội tiếp, sử dụng các tính chất của góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Ví dụ, chứng minh sự đồng dạng giữa hai tam giác, hoặc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp dựa trên các góc bằng nhau. Những bài toán này đòi hỏi việc vận dụng các định lý, tính chất của đường tròn một cách linh hoạt và chính xác, và khả năng chứng minh hình học.

Phần bài tập hình học về đường tròn còn bao gồm các bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng chứng minh. Ví dụ, có những bài toán yêu cầu chứng minh các mối quan hệ giữa các điểm, các đoạn thẳng, các góc trong đường tròn, đòi hỏi người giải phải vận dụng nhiều định lý khác nhau, kết hợp cả hình học phẳng và hình học không gian. Một số bài toán liên quan đến việc xác định vị trí của một điểm để thỏa mãn một điều kiện nào đó, ví dụ tìm vị trí của một điểm để một tứ giác có diện tích nhỏ nhất, hoặc tìm vị trí của một điểm sao cho một đoạn thẳng có độ dài xác định. Những bài toán này thường đòi hỏi một trình độ hiểu biết cao về đường tròn và các tính chất liên quan, và một khả năng tư duy logic sâu sắc để tìm ra hướng giải quyết. Ngoài ra, một số bài toán còn liên quan đến việc chứng minh các điểm nằm trên cùng một đường thẳng hay cùng thuộc một đường tròn, đòi hỏi kỹ năng vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, tính chất của các hình học cơ bản và định lý về đường tròn.