Khảo sát hàm số & vẽ đồ thị

Một số câu hỏi trong đề thi tập trung vào việc xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Ví dụ, một câu hỏi yêu cầu xác định hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Điều này đòi hỏi người làm bài phải hiểu rõ về cách tìm cực trị của hàm số, sử dụng đạo hàm để tìm điểm dừng và khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng xác định. Việc hiểu rõ tính chất của hàm số, đặc biệt là dạng đồ thị của nó, là rất quan trọng để xác định chính xác giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Câu hỏi này kiểm tra khả năng phân tích và áp dụng kiến thức về cực trị của hàm số một cách chính xác. Người làm bài cần có khả năng phân biệt giữa giá trị lớn nhất/nhỏ nhất toàn cục và cục bộ trên một khoảng xác định. Khả năng vẽ đồ thị hàm số cũng là một kỹ năng hữu ích để giải quyết loại câu hỏi này.

Một số câu hỏi khác lại tập trung vào việc xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Ví dụ, một câu hỏi hỏi hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. Đây là một dạng câu hỏi kiểm tra sự hiểu biết về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc tìm cực trị. Người làm bài cần xác định được đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số, sau đó sử dụng các điều kiện cần và đủ để xác định điểm cực đại và cực tiểu. Ngoài ra, việc hiểu về bảng biến thiên cũng rất hữu ích trong việc xác định điểm cực trị của hàm số. Bảng biến thiên cung cấp thông tin về sự biến thiên của hàm số, giúp xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị một cách trực quan. Một số câu hỏi có thể yêu cầu xác định số lượng điểm cực trị của hàm số, đòi hỏi người làm bài phải có khả năng phân tích sâu sắc hơn về tính chất của hàm số.

Nhiều câu hỏi trong đề thi sử dụng bảng biến thiên để mô tả tính chất của hàm số. Người làm bài cần dựa vào bảng biến thiên để xác định các thông tin quan trọng như khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, điểm cực trị (cực đại, cực tiểu), giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Từ đó, người làm bài có thể suy ra được dạng của hàm số hoặc chọn đáp án đúng trong các phương án được đưa ra. Khả năng đọc và hiểu thông tin từ bảng biến thiên là rất quan trọng. Câu hỏi có thể yêu cầu xác định mệnh đề đúng hoặc sai dựa trên bảng biến thiên, đòi hỏi người làm bài phải có kỹ năng phân tích và tổng hợp thông tin một cách chính xác. Sự hiểu biết về mối liên hệ giữa bảng biến thiên và đồ thị hàm số cũng là một yếu tố cần thiết để giải quyết loại câu hỏi này một cách hiệu quả.

Một số câu hỏi liên quan đến việc tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt. Đây là một dạng bài toán đòi hỏi người làm bài phải kết hợp kiến thức về phương trình, hàm số và đồ thị. Người làm bài cần phải phân tích đồ thị của hàm số f(x) để xác định các điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt. Việc sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số sẽ giúp xác định số nghiệm của phương trình một cách trực quan hơn. Câu hỏi này kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về hàm số, phương trình và khả năng giải quyết các bài toán có tính chất tổng hợp. Khả năng lập luận logic và tư duy toán học là rất quan trọng để giải quyết loại câu hỏi này.

Một số câu hỏi liên quan đến việc tìm giá trị của biến để tối ưu hóa một đại lượng nào đó trong bài toán thực tiễn. Ví dụ, câu hỏi về việc cắt tấm nhôm để tạo thành một hộp có thể tích lớn nhất. Đây là một dạng bài toán ứng dụng của toán học vào thực tiễn, đòi hỏi người làm bài phải xây dựng được mô hình toán học từ bài toán thực tế, sau đó sử dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để tìm giá trị cực đại của thể tích hộp. Người làm bài cần có khả năng biến đổi bài toán thực tế thành bài toán toán học, xác định được hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa và áp dụng các kỹ thuật tìm cực trị để giải quyết bài toán. Đây là một dạng bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi người làm bài phải có khả năng tư duy tổng hợp và vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết vấn đề thực tế.

Một phần đáng kể trong đề thi tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay. Các câu hỏi thường yêu cầu tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay một hình phẳng quanh một trục (thường là trục hoành hoặc trục tung). Hình phẳng này được giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và các đường thẳng có phương trình cho trước. Để giải quyết các bài toán này, người làm bài cần nắm vững công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân xác định. Cụ thể, cần xác định đúng cận tích phân, hàm số cần tích phân và áp dụng công thức tích phân để tính toán. Một số câu hỏi có thể phức tạp hơn, yêu cầu người làm bài phải phân tích hình phẳng cần quay một cách chính xác để thiết lập được cận tích phân và hàm số cần tích phân. Khả năng hình dung không gian và khả năng vận dụng công thức tích phân là rất quan trọng để giải quyết hiệu quả loại câu hỏi này.

Một số câu hỏi trong đề thi yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay khi hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong có hàm số là hàm lượng giác (ví dụ: y = 2cos(x) + 1, y = 2sin(x) + 1). Đây là dạng bài toán đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về tích phân và hàm lượng giác. Người làm bài cần nắm vững các công thức tích phân liên quan đến hàm lượng giác, cũng như kỹ năng tính toán tích phân với các cận phức tạp hơn. Việc xác định chính xác cận tích phân, thường liên quan đến giao điểm của các đường cong, là rất quan trọng. Khả năng sử dụng các kỹ thuật tích phân, như tích phân từng phần hoặc tích phân đổi biến, có thể cần thiết để giải quyết các câu hỏi này. Độ chính xác trong việc tính toán các giá trị lượng giác và tích phân là yếu tố quyết định đến kết quả cuối cùng.

Ngoài các bài toán cơ bản về khối tròn xoay, đề thi còn bao gồm các bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi người làm bài phải tính thể tích của các phần vật thể được giới hạn bởi các mặt phẳng và có thiết diện là các hình khác nhau (ví dụ: hình chữ nhật). Để giải quyết loại bài toán này, người làm bài cần phải hiểu rõ về phương pháp tính thể tích vật thể bằng tích phân. Cụ thể, cần xác định được hàm số biểu diễn diện tích thiết diện của vật thể theo biến x (hoặc y), và sau đó sử dụng tích phân xác định để tính toán thể tích. Việc xác định đúng cận tích phân và hàm số cần tích phân dựa trên mô tả hình học của vật thể là rất quan trọng. Khả năng hình dung không gian và khả năng vận dụng công thức tích phân trong các tình huống phức tạp là những kỹ năng cần thiết để thành công trong loại bài toán này.

Một số câu hỏi tập trung vào việc tính thể tích của các khối đa diện. Ví dụ, có câu hỏi yêu cầu tính thể tích của khối lăng trụ tam giác, trong đó đáy là tam giác vuông cân và cạnh AC có độ dài cho trước, cùng với thông tin về góc tạo bởi AC và mặt phẳng đáy, và độ dài AC'. Để giải quyết, người làm bài cần vận dụng công thức tính thể tích lăng trụ, cần xác định chiều cao của lăng trụ dựa trên thông tin về góc và cạnh đã cho. Câu hỏi khác liên quan đến hình hộp chữ nhật, yêu cầu tính diện tích toàn phần của hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật quanh một trục. Đây là bài toán kết hợp hình học không gian và hình học phẳng, cần tính toán chính xác kích thước của hình trụ dựa trên kích thước hình chữ nhật ban đầu. Một số bài toán phức tạp hơn có thể liên quan đến hình chóp, đòi hỏi người làm bài phải nắm vững các công thức tính thể tích hình chóp và các kỹ thuật hình học không gian khác.

Một số câu hỏi khác yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình chóp. Để giải quyết, người làm bài cần vận dụng kiến thức về hình học không gian, xác định được vị trí của điểm và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Việc tìm được khoảng cách này đòi hỏi phải có khả năng phân tích hình học không gian tốt và biết áp dụng đúng công thức tính khoảng cách. Một câu hỏi khác lại yêu cầu tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng trong một khối chóp, đòi hỏi người làm bài phải xác định được các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ. Những bài toán này đánh giá khả năng ứng dụng công thức và kỹ năng hình dung không gian của người làm bài.

Đề thi cũng bao gồm các câu hỏi liên quan đến tính toán thể tích của khối trụ, khối nón và khối cầu. Ví dụ, có câu hỏi yêu cầu tính thể tích của khối nón khi biết góc tạo bởi đường sinh và đáy, cùng với bán kính đường tròn nội tiếp thiết diện qua trục. Đây đòi hỏi người làm bài phải có khả năng vận dụng công thức tính thể tích khối nón và các kiến thức hình học liên quan, như mối liên hệ giữa các yếu tố của hình nón (đường sinh, chiều cao, bán kính đáy). Câu hỏi về hình cầu có thể yêu cầu tính thể tích của khối nón có đỉnh nằm trên mặt cầu và đáy là đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu. Để giải quyết, người làm bài cần xác định được các thông số của khối nón (chiều cao và bán kính đáy) dựa trên thông tin về vị trí mặt phẳng và bán kính của mặt cầu. Những câu hỏi này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức hình học không gian và khả năng tính toán chính xác.

Một số câu hỏi kiểm tra kiến thức về tính chất đối xứng của các khối đa diện. Ví dụ, có câu hỏi hỏi hình đa diện nào không có tâm đối xứng, đòi hỏi người làm bài phải hiểu rõ về khái niệm tâm đối xứng và có khả năng nhận dạng các hình đa diện có tính chất đối xứng này. Một câu hỏi khác yêu cầu xác định số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau, đòi hỏi người làm bài phải hiểu rõ về khái niệm mặt phẳng đối xứng và khả năng hình dung không gian để xác định chính xác số lượng mặt phẳng đối xứng. Những câu hỏi này kiểm tra kiến thức lý thuyết và khả năng phân tích hình học không gian cơ bản.

Một số bài toán hình học không gian được đặt trong hệ tọa độ Oxyz, đòi hỏi người làm bài phải vận dụng kiến thức về hình học giải tích không gian. Ví dụ, có câu hỏi liên quan đến việc tìm phương trình mặt cầu, tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên trục tọa độ, hoặc xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng. Những câu hỏi này yêu cầu người làm bài phải thành thạo các công thức và kỹ thuật tính toán trong hệ tọa độ Oxyz, bao gồm việc tính khoảng cách, xác định phương trình mặt phẳng, tìm tọa độ điểm, và các phép toán vectơ. Khả năng vận dụng kiến thức hình học giải tích không gian vào việc giải quyết các bài toán cụ thể là rất quan trọng trong loại câu hỏi này. Độ chính xác trong việc tính toán tọa độ và các phép toán vectơ là yếu tố quyết định đến kết quả cuối cùng.

Đề thi có một số câu hỏi liên quan đến tính toán lãi suất ngân hàng. Một câu hỏi minh họa là bài toán về ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm và muốn hoàn nợ trong 3 tháng với số tiền mỗi lần như nhau. Bài toán này yêu cầu người làm bài phải tính toán số tiền ông A phải trả mỗi tháng, tính đến cả lãi suất. Đây là bài toán ứng dụng của toán tài chính, đòi hỏi người làm bài phải hiểu rõ về cách tính lãi kép và có khả năng áp dụng công thức toán học vào việc giải quyết vấn đề thực tế. Khả năng tính toán chính xác và sự hiểu biết về các khái niệm tài chính như lãi suất, vốn gốc, và lãi kép là rất cần thiết để giải quyết đúng loại câu hỏi này. Câu hỏi khác liên quan đến việc gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất cố định và tính toán thời gian cần thiết để số tiền đạt đến một mức nhất định, bao gồm cả gốc và lãi.

Một số bài toán liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng trong một tình huống thực tế. Ví dụ, một câu hỏi đưa ra bài toán về việc cắt một tấm nhôm hình vuông để tạo ra một chiếc hộp không nắp có thể tích lớn nhất. Bài toán này yêu cầu người làm bài phải thiết lập được công thức tính thể tích của hộp dựa trên kích thước cạnh của hình vuông được cắt ra từ tấm nhôm. Sau đó, người làm bài cần sử dụng các kiến thức về hàm số và đạo hàm để tìm giá trị của biến (kích thước cạnh hình vuông được cắt) làm cho thể tích của hộp đạt giá trị lớn nhất. Khả năng lập mô hình toán học từ bài toán thực tế, sử dụng các kỹ thuật tìm cực trị của hàm số và khả năng giải phương trình là rất quan trọng để giải quyết loại câu hỏi này. Đây là một bài toán tối ưu hóa điển hình, kết hợp kiến thức toán học lý thuyết với khả năng vận dụng vào thực tiễn.

Đề thi cũng bao gồm các câu hỏi liên quan đến vận tốc và quãng đường của một vật chuyển động. Ví dụ, có câu hỏi về một ô tô đang chạy với vận tốc nhất định, sau đó đạp phanh và chuyển động chậm dần đều. Câu hỏi yêu cầu tính quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. Để giải quyết, người làm bài cần sử dụng các kiến thức về chuyển động thẳng biến đổi đều, lập phương trình vận tốc và tích phân để tính quãng đường. Các câu hỏi khác có thể liên quan đến vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian, được mô tả bằng đồ thị. Người làm bài cần phân tích đồ thị vận tốc để tính toán quãng đường vật di chuyển được trong một khoảng thời gian cho trước. Khả năng hiểu và áp dụng kiến thức vật lý vào toán học là rất quan trọng để giải quyết hiệu quả các bài toán này.

Một câu hỏi khác đề cập đến mô hình tăng trưởng. Ví dụ, bài toán về số lượng vi khuẩn tăng theo cấp số nhân hoặc tổng số tiền trả lương cho nhân viên của một công ty tăng theo tỷ lệ phần trăm hàng năm. Bài toán này yêu cầu người làm bài phải sử dụng các công thức toán học liên quan đến cấp số nhân hoặc tăng trưởng lũy thừa để dự đoán số lượng vi khuẩn sau một khoảng thời gian hoặc tổng số tiền trả lương trong một năm cụ thể. Khả năng hiểu và áp dụng các công thức về cấp số nhân, lũy thừa và giải các phương trình mũ là rất quan trọng. Câu hỏi này đánh giá khả năng vận dụng kiến thức toán học để mô hình hóa và dự báo xu hướng tăng trưởng trong thực tế. Khả năng hiểu và diễn đạt các dữ liệu bằng ngôn ngữ toán học là rất cần thiết để giải quyết loại câu hỏi này.

Một số câu hỏi yêu cầu xác định số phức z thỏa mãn các điều kiện nhất định. Ví dụ, một câu hỏi tìm số phần tử của tập hợp S, là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn |z| = 1 và z - 3 + mi = 0. Để giải quyết, người làm bài cần hiểu rõ về biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, khái niệm môđun của số phức, và cách giải phương trình số phức. Việc sử dụng các phương pháp giải phương trình và bất phương trình số phức, cũng như khả năng biến đổi các biểu thức số phức là cần thiết. Khả năng vận dụng các định lý về số phức, chẳng hạn như định lý về môđun của tích và thương của số phức, sẽ giúp cho việc tìm lời giải chính xác hơn. Sự chính xác trong việc tính toán là rất quan trọng trong loại câu hỏi này.

Một câu hỏi khác yêu cầu xác định số lượng giá trị của biến để một biểu thức số phức trở thành số thuần ảo. Đây là một dạng câu hỏi cơ bản về số phức, đòi hỏi người làm bài phải hiểu rõ về định nghĩa số thuần ảo (phần thực bằng 0) và cách phân tách phần thực và phần ảo của một số phức. Người làm bài cần có kỹ năng biến đổi và rút gọn biểu thức số phức, sau đó thiết lập phương trình hoặc bất phương trình để tìm ra các giá trị của biến thỏa mãn điều kiện. Sự hiểu biết rõ ràng về các phép toán số phức cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) là rất cần thiết để giải quyết câu hỏi này một cách hiệu quả. Sự cẩn thận trong việc tính toán và biến đổi là rất quan trọng để tránh sai sót.