Bài tập hàm số lượng giác

Đoạn văn bản đề cập đến việc xác định tập xác định (TXĐ) và tập giá trị của các hàm lượng giác. Câu hỏi liên quan đến tập xác định của hàm số cho thấy sự hiểu biết về những giá trị của biến số mà hàm số được xác định. Ví dụ, tập xác định của hàm tan x là R \ {π + kπ | k ∈ Z}, nghĩa là hàm số không xác định tại các điểm x = π + kπ, với k là số nguyên. Tập giá trị của hàm số thể hiện phạm vi các giá trị mà hàm số có thể nhận được. Ví dụ, tập giá trị của hàm sin x và cos x là [-1, 1], trong khi đó tập giá trị của hàm tan x và cot x là R (tất cả các số thực). Việc nắm vững TXĐ và tập giá trị giúp hiểu rõ hơn về đặc tính và hình dạng đồ thị của từng hàm số lượng giác. Khả năng xác định chính xác TXĐ và tập giá trị là một kỹ năng quan trọng trong giải tích và ứng dụng của hàm số lượng giác.

Một khía cạnh quan trọng khác được đề cập là tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Hàm số tuần hoàn là hàm số lặp lại giá trị của mình sau một khoảng thời gian nhất định gọi là chu kỳ. Ví dụ, hàm sin x và cos x có chu kỳ là 2π, trong khi hàm tan x và cot x có chu kỳ là π. Hiểu được tính chất tuần hoàn giúp dự đoán và vẽ đồ thị của các hàm này. Bên cạnh tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ cũng là một tính chất quan trọng của hàm số lượng giác. Hàm số chẵn là hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy), nghĩa là f(-x) = f(x). Hàm số lẻ là hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O), nghĩa là f(-x) = -f(x). Câu hỏi trong đề thi kiểm tra sự hiểu biết về tính chẵn lẻ của các hàm lượng giác cơ bản, ví dụ hàm sin x là hàm lẻ, còn cos x là hàm chẵn. Khả năng xác định tính chẵn lẻ và chu kỳ của một hàm số lượng giác giúp giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.

Một số câu hỏi trong đề thi yêu cầu phân tích tính đúng/sai của các phát biểu liên quan đến hàm số lượng giác. Điều này đánh giá khả năng hiểu và áp dụng các thuộc tính đã học vào việc giải quyết các vấn đề cụ thể. Ví dụ, việc xác định xem phát biểu 'Hàm số y = sin x là hàm số chẵn nên nhận trục Oy làm trục đối xứng' là đúng hay sai đòi hỏi phải hiểu rõ định nghĩa của hàm số chẵn và tính chất đối xứng của đồ thị. Tương tự, việc đánh giá phát biểu về tính tuần hoàn của hàm sin x và cos x cũng đòi hỏi phải nắm vững chu kỳ của các hàm số này. Khả năng phân tích và đánh giá các phát biểu đúng sai về các hàm lượng giác cho thấy sự hiểu biết toàn diện về các thuộc tính và đặc điểm của chúng.

Phần này tập trung vào các khái niệm cơ bản của tổ hợp, bao gồm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Các câu hỏi kiểm tra khả năng áp dụng công thức tính số hoán vị của n phần tử, số chỉnh hợp chập k của n phần tử và số tổ hợp chập k của n phần tử. Ví dụ, câu hỏi về việc lập số tự nhiên có 5 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 kiểm tra khả năng vận dụng công thức hoán vị. Câu hỏi về việc thành lập ban kiểm tra từ 3 nam và 2 nữ, với điều kiện có ít nhất 1 nữ, đòi hỏi phải sử dụng tổ hợp để tính số cách chọn. Một ví dụ khác liên quan đến việc chọn 5 bạn từ nhóm học sinh có cả nam và nữ, đòi hỏi phải tính toán số tổ hợp thỏa mãn điều kiện. Việc hiểu rõ sự khác biệt và ứng dụng của từng khái niệm là rất quan trọng để giải quyết chính xác các bài toán tổ hợp.

Phần này mở rộng phạm vi ứng dụng của tổ hợp vào các bài toán hình học. Một câu hỏi điển hình là việc tìm số đường chéo của một đa giác đều n đỉnh. Đây là một bài toán đếm đòi hỏi phải hiểu rõ công thức tính số đường chéo của đa giác. Một câu hỏi khác liên quan đến số giao điểm và số tam giác được tạo thành từ 10 đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Bài toán này đòi hỏi khả năng phân tích và vận dụng kiến thức tổ hợp để tìm lời giải chính xác. Các bài toán này giúp rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết tổ hợp vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn và hình học.

Phần này tập trung vào các bài toán xác suất. Các câu hỏi liên quan đến việc xác định số phần tử của không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố. Ví dụ, câu hỏi về việc gieo một con xúc xắc hai lần hoặc gieo một đồng tiền ba lần yêu cầu xác định không gian mẫu và tính xác suất của một biến cố cụ thể. Một ví dụ khác liên quan đến việc rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9 và tính xác suất để tích của hai số trên thẻ là số lẻ. Câu hỏi về xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn hai viên đạn độc lập cũng kiểm tra khả năng áp dụng các quy tắc xác suất. Việc hiểu rõ khái niệm không gian mẫu, biến cố, và các quy tắc tính xác suất là nền tảng để giải quyết các bài toán này một cách chính xác. Các bài toán xác suất trong phần này nhấn mạnh vào việc áp dụng các công thức và quy tắc tính xác suất vào các tình huống cụ thể.

Một trong những phép biến hình được đề cập trong đề thi là phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến được xác định bởi một vectơ, và nó di chuyển mọi điểm trong mặt phẳng theo cùng một vectơ đó. Các câu hỏi liên quan đến phép tịnh tiến thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một đường tròn sau khi thực hiện phép tịnh tiến. Đề thi kiểm tra sự hiểu biết về tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ và tính chất biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng của phép tịnh tiến. Một câu hỏi cụ thể liên quan đến việc tìm phương trình của đường tròn ảnh sau khi thực hiện phép tịnh tiến với vectơ cho trước. Việc nắm vững khái niệm vectơ tịnh tiến và cách xác định ảnh của các hình học cơ bản là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến phép tịnh tiến.

Phép vị tự là một phép biến hình khác được đề cập. Phép vị tự được xác định bởi tâm vị tự và tỉ số vị tự. Phép vị tự biến một điểm thành một điểm khác sao cho tỉ số khoảng cách từ điểm đó đến tâm vị tự là không đổi. Các câu hỏi liên quan đến phép vị tự thường yêu cầu tìm tỉ số vị tự hoặc tìm ảnh của một điểm hoặc một đường thẳng. Một câu hỏi cụ thể liên quan đến việc tìm tỉ số k của phép vị tự biến điểm M thành điểm M' với tâm vị tự I cho trước. Một câu hỏi khác yêu cầu xác định tỉ số vị tự biến đường thẳng Δ1 thành đường thẳng Δ2 với tâm vị tự I cho trước. Việc hiểu rõ về tâm vị tự, tỉ số vị tự và cách xác định ảnh của các hình học thông qua phép vị tự là rất quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan.

Đề thi cũng đề cập đến phép đồng dạng, một phép biến hình bảo toàn tỉ số giữa các khoảng cách. Phép đồng dạng có thể được tạo thành từ việc thực hiện liên tiếp các phép vị tự và phép biến hình khác. Một câu hỏi cụ thể liên quan đến việc tìm phương trình của đường tròn ảnh sau khi thực hiện phép đồng dạng được tạo thành từ phép vị tự. Việc hiểu rõ bản chất của phép đồng dạng và sự kết hợp của các phép biến hình khác để tạo ra phép đồng dạng là cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Câu hỏi này kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về phép vị tự và phép đồng dạng để xác định ảnh của một đường tròn.

Phần này của đề thi tập trung vào việc xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng. Các câu hỏi thường cho trước một hình chóp và một mặt phẳng, yêu cầu xác định hình dạng của thiết diện (ví dụ: tam giác, tứ giác, ngũ giác...). Các câu hỏi thường liên quan đến việc xác định vị trí tương đối của mặt phẳng cắt với các cạnh của hình chóp, từ đó suy ra hình dạng của thiết diện. Một số câu hỏi phức tạp hơn yêu cầu xác định hình dạng của thiết diện khi mặt phẳng cắt song song với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng khác trong hình chóp. Khả năng hình dung không gian và khả năng phân tích vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng là rất cần thiết để giải quyết loại bài toán này. Việc xác định chính xác hình dạng của thiết diện dựa trên vị trí của mặt phẳng cắt là trọng tâm của phần này.

Phần này tập trung vào việc xác định mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Các câu hỏi thường liên quan đến việc tính góc giữa hai đường thẳng hoặc xác định xem hai đường thẳng có vuông góc với nhau hay không. Các hình học được sử dụng thường là hình chóp hoặc hình lập phương. Thông tin cho trước thường bao gồm tọa độ của các điểm hoặc các thông tin về cạnh và góc của hình học. Ví dụ, một câu hỏi có thể yêu cầu tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC trong một hình chóp S.ABCD. Khả năng hình dung không gian và khả năng vận dụng kiến thức về hình học không gian để xác định mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng là rất quan trọng. Sự chính xác trong việc tính toán góc giữa các đường thẳng là yếu tố quyết định trong việc trả lời đúng các câu hỏi này.

Phần này khảo sát các bài toán liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc và thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng hoặc mặt phẳng khác. Các câu hỏi thường liên quan đến việc xác định điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau, hoặc tính góc giữa hai mặt phẳng. Thiết diện được tạo ra thường là một đa giác, và diện tích của thiết diện cần được tính toán. Thông tin cho trước thường liên quan đến hình chóp, hình lập phương hoặc các hình học không gian khác. Các câu hỏi đòi hỏi khả năng hình dung không gian tốt và khả năng áp dụng kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian ba chiều. Ví dụ, việc tính diện tích của thiết diện tạo bởi một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng trong hình chóp đòi hỏi phải xác định được hình dạng và kích thước của thiết diện. Khả năng vận dụng linh hoạt các định lý và công thức liên quan đến quan hệ vuông góc là rất quan trọng để giải quyết các bài toán này.

Phần cuối cùng tập trung vào việc tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian, bao gồm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, hoặc khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Các hình học được sử dụng thường là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hoặc hình chóp với các điều kiện đặc biệt. Các câu hỏi đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các công thức tính khoảng cách và khả năng áp dụng chúng vào các hình học phức tạp. Một số câu hỏi yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong một hình chóp, trong khi những câu hỏi khác yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Việc lựa chọn phương pháp tính khoảng cách phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức về hình học không gian và các công thức tính khoảng cách là yếu tố quyết định trong việc giải quyết hiệu quả các bài toán này.