Ổn định đàn hồi thanh thẳng

Phần này giới thiệu phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, được đề xuất bởi GS.TSKH. Hà Huy Cường, như một phương pháp mới để giải các bài toán cơ học, đặc biệt là trong cơ học vật rắn biến dạng và cơ học môi trường liên tục. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, vốn được phát biểu cho hệ chất điểm, nhưng được mở rộng để áp dụng cho các hệ phức tạp hơn. Điểm mạnh của phương pháp này nằm ở sự đơn giản và khả năng cho ra kết quả chính xác. Bài toán ổn định kết cấu trước đây thường được giải quyết bằng nhiều hướng khác nhau, chủ yếu xuất phát từ nguyên lý năng lượng, nhưng kết quả phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng của hệ khi lệch khỏi trạng thái cân bằng ban đầu. Ngược lại, phương pháp này mang lại một cách tiếp cận mới, đơn giản và hiệu quả hơn trong việc xác định tải trọng tới hạn và phân tích ổn định.

Phần này trình bày lịch sử nghiên cứu về ổn định kết cấu, bắt đầu từ những nghiên cứu thực nghiệm của Piter Musschenbroek năm 1729, người đưa ra kết luận về mối quan hệ tỷ lệ nghịch giữa lực tới hạn và bình phương chiều dài thanh. Leonhard Euler, với công trình năm 1744, đặt nền móng cho nghiên cứu lý thuyết về bài toán ổn định. Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực này chỉ diễn ra vào cuối thế kỷ XIX, nhờ những đóng góp của các nhà khoa học như Giáo sư F.s. Iaxinski, Viện sĩ A. N. Đinnik, và Viện sĩ V. G. Galerkin. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ, vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết hoàn toàn, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Luận văn cũng đề cập đến tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu trên thế giới và Việt Nam, nhấn mạnh sự gia tăng nhanh chóng số lượng công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này trong những năm gần đây, đặc biệt là do sự phát triển kinh tế và sự xuất hiện ngày càng nhiều các công trình cao tầng, công trình có khẩu độ lớn và các công trình đặc biệt.

Phần này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nghiên cứu ổn định kết cấu. Công trình chỉ an toàn khi thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: bền, cứng và ổn định. Do đó, bài toán ổn định và phân tích ổn định đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu, phân tích và thiết kế kết cấu. Tầm quan trọng này được minh chứng qua nhiều thảm họa sập đổ công trình trong lịch sử, đặc biệt là các sự cố liên quan đến mất ổn định của các cấu kiện chịu nén, tấm và vỏ mỏng (ví dụ như sự sập đổ của nhiều cây cầu đường sắt từ năm 1880, sự cố cầu Kevđa (Nga) năm 1875, cầu Menkhienxtain ở Thụy Sĩ năm 1891, cầu dàn Quebec ở Canada năm 1907, …). Sự phát triển của công nghệ vật liệu, đặc biệt là việc sử dụng thép, dẫn đến việc sử dụng các cấu kiện thành mỏng chịu nén, làm cho vấn đề ổn định càng trở nên cấp thiết. Việc xác định tải trọng tới hạn chính xác trở nên quan trọng hơn bao giờ hết để tránh các thảm họa tương tự.

Phần này đề cập đến các phương pháp nghiên cứu ổn định của hệ đàn hồi, phân loại theo hướng toán học (phương pháp giải tích, phương pháp nửa giải tích, phương pháp số) hoặc theo trạng thái trước khi hệ mất ổn định (có xét đến sự lệch ban đầu, hệ lý tưởng chịu kích động...). Các kỹ sư kết cấu hiện nay không còn chỉ dựa vào các mô hình phân nhánh đàn hồi đơn giản hay công thức thực nghiệm cũ nữa, mà sử dụng toàn bộ khả năng của máy tính điện tử để xác định giá trị thực tế của ứng suất tới hạn, tính đến các khiếm khuyết hình học và cấu trúc. Định nghĩa về ổn định được đưa ra: khả năng công trình giữ vị trí và dạng cân bằng ban đầu khi chịu nhiễu loạn bên ngoài. Các tiêu chuẩn ổn định và không ổn định (định lý Liapunov, định lý Lagrange-Dirichlet) được trình bày. Phương pháp tĩnh (phương pháp Euler), tìm tải trọng tới hạn nhỏ nhất gây ra phân nhánh dạng cân bằng, cũng được đề cập. Sự ra đời của phương pháp nguyên lý cực trị Gauss mang lại một cách tiếp cận mới, đơn giản và hiệu quả hơn cho việc phân tích ổn định, đặc biệt trong việc xác định tải trọng tới hạn.

Phần này đặt nền tảng cho việc áp dụng nguyên lý cực trị Gauss vào cơ học kết cấu bằng cách giới thiệu các khái niệm cơ bản về ứng suất và biến dạng trong môi trường liên tục. Ứng suất và biến dạng được mô tả như những đại lượng cơ bản trong mô hình hóa hành vi của vật liệu dưới tác động của ngoại lực. Để áp dụng phương pháp vào cơ học kết cấu, luận văn giải thích cách quy các ứng suất tác dụng lên mặt cắt phân tố thành các nội lực tác dụng lên mặt trung bình của kết cấu (như lực dọc N, momen uốn M, lực cắt Q). Việc này đòi hỏi đưa ra các giả thiết đơn giản hóa để đảm bảo độ chính xác cần thiết trong thực tế, đồng thời cho phép sử dụng các mô hình toán học đơn giản hơn để tính toán. Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, phụ thuộc vào tính chất cơ học của vật liệu, cũng được đề cập đến, nhấn mạnh sự cần thiết phải hiểu rõ tính chất của vật liệu để xây dựng mô hình chính xác.

Phần này trình bày cách áp dụng nguyên lý cực trị Gauss để giải quyết các bài toán cơ học kết cấu. Phương pháp này được sử dụng để xây dựng và giải các phương trình vi phân cân bằng của hệ. Luận văn đề cập đến việc sử dụng các “biến dạng” của tiết diện do momen uốn gây ra, và chỉ cần biết chuyển vị thẳng đứng (đường độ võng) của trục hoặc mặt trung bình của kết cấu để tính toán các chuyển vị theo các phương khác. Các biến dạng trong mặt phẳng tấm (hoặc thớ dầm) được cho là phân bố tuyến tính theo chiều cao và tỷ lệ với độ cong của mặt võng. Điều kiện biên của kết cấu, được mô tả bằng các liên kết khớp và ngàm, cũng được đưa vào để mô phỏng chính xác các điều kiện thực tế. Phương pháp này yêu cầu biết các biến dạng tương ứng với các nội lực (momen uốn, lực cắt, lực dọc trục) và độ cứng của chúng.

Phần này làm rõ mối quan hệ giữa cơ học chất điểm và cơ học môi trường liên tục, tạo nền tảng lý thuyết cho việc áp dụng nguyên lý cực trị Gauss. Khái niệm cơ bản của cơ học chất điểm là chất điểm, lực tác dụng lên chất điểm gây ra chuyển vị, đặc trưng bởi khối lượng. Trong khi đó, cơ học môi trường liên tục sử dụng mặt cắt phân tố, ứng suất gây ra biến dạng, và đặc trưng bởi độ cứng biến dạng. Sự tương tự giữa hai loại cơ học được chỉ ra: chất điểm tương ứng với mặt cắt phân tố, lực tương ứng với ứng suất, và chuyển vị tương ứng với biến dạng. Điểm khác biệt chính nằm ở việc cơ học môi trường liên tục phải xét thêm ứng suất gây ra biến dạng, ngoài lực khối và lực quán tính. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp xây dựng phiếm hàm lượng cưỡng bức cho cơ hệ môi trường liên tục, tương tự như trong cơ học chất điểm, tạo điều kiện cho việc áp dụng nguyên lý cực trị Gauss.

Phần này trình bày các bước thực hiện khi tìm lực tới hạn bằng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Các giả thiết được sử dụng bao gồm: vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tuân theo định luật Hooke (quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng), và năng lượng của hệ được bảo toàn trong quá trình chịu tải. Lượng cưỡng bức phản ánh sự sai khác về liên kết giữa hai hệ: hệ cần tính toán và hệ so sánh. Phương pháp này được áp dụng cho bài toán ổn định của thanh thẳng đàn hồi tuyến tính, cho cả trường hợp đường đàn hồi là đa thức và hàm lượng giác, chứng minh hiệu quả và tính linh hoạt của phương pháp. Tác giả nhấn mạnh sự đơn giản và mới mẻ của phương pháp này so với các phương pháp khác trong việc giải quyết bài toán ổn định, cho thấy tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong các bài toán cơ học kết cấu phức tạp.

Phần này nêu rõ các giả thiết và điều kiện cần thiết để áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trong việc xác định lực tới hạn. Quan trọng nhất là giả thiết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính, tuân theo định luật Hooke, đảm bảo tính thuận nghịch trong quá trình tăng tải và giảm tải. Năng lượng của hệ được bảo toàn trong quá trình chịu tải. Lượng cưỡng bức, đại lượng quan trọng trong phương pháp này, thể hiện sự sai khác về liên kết giữa hệ cần tính toán và hệ so sánh. Những giả thiết này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và đảm bảo độ chính xác của kết quả. Việc lựa chọn mô hình vật liệu phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo kết quả tính toán phản ánh đúng thực tế. Sự đơn giản hóa này không làm giảm tính chính xác của kết quả nếu được kiểm chứng kỹ lưỡng.

Phần này trình bày quy trình cụ thể để xác định lực tới hạn sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Phương pháp này được áp dụng cho thanh thẳng đàn hồi tuyến tính, trong đó đường đàn hồi có thể được biểu diễn bằng đa thức hoặc hàm lượng giác. Việc xác định lực tới hạn dựa trên việc tìm cực tiểu của lượng cưỡng bức, phản ánh sự chênh lệch giữa hệ có liên kết và hệ tự do. Quy trình này bao gồm việc xây dựng hàm lượng cưỡng bức dựa trên các lực, nội lực, chuyển vị và biến dạng của hệ. Phép tính biến phân được sử dụng để tìm cực tiểu của hàm này, dẫn đến việc xác định phương trình vi phân cân bằng của hệ. Giải phương trình này sẽ cho phép xác định lực tới hạn cần tìm. Khả năng sử dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán phức tạp cũng được đề cập, nhấn mạnh vào tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp.

Phần này nhấn mạnh vào những ưu điểm của việc sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xác định lực tới hạn. Tác giả cho rằng phương pháp này có cách làm và cách nghĩ đơn giản, hoàn toàn mới so với các phương pháp khác. Việc xây dựng bài toán và đưa ra lời giải được thực hiện theo cách tiếp cận đơn giản và trực quan hơn so với các phương pháp truyền thống. Phương pháp này cho phép giải quyết bài toán ổn định công trình một cách hiệu quả, đặc biệt là đối với các bài toán phức tạp, mà các phương pháp truyền thống khó áp dụng. Việc tác giả đã xây dựng được quy trình xác định lực tới hạn cho thanh thẳng đàn hồi tuyến tính trong cả hai trường hợp (đường đàn hồi là đa thức và hàm lượng giác) càng củng cố thêm ưu điểm này. Kết quả nghiên cứu cho thấy khả năng sử dụng các phương pháp số để giải quyết các bài toán cơ học kết cấu phức tạp.