Nguyên lý biến phân cơ học công trình

Phần này trình bày định nghĩa về biến phân δy của hàm y(x), mô tả sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và nhấn mạnh sự khác biệt giữa biến phân δy và số gia Δy. Công thức được mở rộng cho hàm nhiều biến độc lập xi. Đáng chú ý, các phương trình Euler (1.8) và (1.11) được nêu là điều kiện cần để các phiếm hàm (1.6) và (1.9) đạt cực trị. Trong các bài toán cơ học, phương trình Euler chính là các phương trình cân bằng, đồng thời cũng là điều kiện đủ. Luận văn cũng đề cập đến trường hợp giá trị hàm y tại cận x1 hoặc x2 không xác định (biên di động), đòi hỏi phải xem xét thêm các điều kiện biên ngoài phương trình Euler. Cuối cùng, phần này thảo luận về trường hợp hàm F dưới dấu tích phân chứa đạo hàm cấp cao hơn, mở ra hướng tiếp cận phức tạp hơn trong phép tính biến phân. Việc sử dụng các đường gãy khúc để tính gần đúng giá trị phiếm hàm I cũng được đề cập đến, đặt nền tảng cho việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán biến phân.

Phần này tập trung vào phương trình Euler, một công cụ quan trọng trong phép tính biến phân, và cách giải bài toán cực trị có ràng buộc sử dụng phương pháp thừa số Lagrange. Các phương trình Euler được nhấn mạnh là điều kiện cần để các phiếm hàm đạt cực trị. Trong ngữ cảnh cơ học, chúng trở thành các phương trình cân bằng. Luận văn đề cập đến các điều kiện biên cần thiết phải được xem xét thêm trong trường hợp các biên di động, làm rõ thêm sự phức tạp của bài toán. Phương pháp thừa số Lagrange được giới thiệu như một kỹ thuật để giải quyết bài toán cực trị có ràng buộc, là một phần không thể thiếu trong việc áp dụng phép tính biến phân vào các bài toán thực tế. Việc tính toán gần đúng giá trị phiếm hàm trên các đường gãy khúc được nhắc đến như một phương pháp hữu ích để giải quyết các bài toán biến phân phức tạp, chuẩn bị cho việc ứng dụng vào cơ học công trình.

Chương này trình bày bốn phương pháp chung để xây dựng bài toán cơ học nói chung và cơ học công trình nói riêng. Luận văn sử dụng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa các phương pháp này. Mục tiêu là làm rõ cách sử dụng các phương pháp này, trong đó có phương trình Lagrange, để xây dựng phương trình chuyển động (phương trình cân bằng) của cơ học công trình. Qua đó, luận văn tìm ra kết luận quan trọng về sự thống nhất cơ bản (về phương trình chuyển động) giữa cơ học giải tích và cơ học công trình. Việc sử dụng lý thuyết dầm chịu uốn làm ví dụ cụ thể giúp người đọc dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tiễn của các phương pháp được trình bày. Tầm quan trọng của việc tìm ra sự thống nhất giữa hai lĩnh vực cơ học được nhấn mạnh, thể hiện sự đóng góp của luận văn vào việc đơn giản hóa và hệ thống hóa kiến thức cơ học.

Phương pháp này xây dựng phương trình vi phân cân bằng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực phân tố được tách ra khỏi kết cấu. Bài toán dầm chịu uốn được sử dụng làm ví dụ minh họa. Các giả thiết về dầm chịu tải phân bố, phân tố dầm chịu uốn, và các nội lực phân tố dầm được trình bày. Độ cong của dầm, được biểu diễn bằng 1/ρ (ρ là bán kính cong), được xem là bằng nhau theo chiều rộng dầm. Luận văn chỉ ra rằng giả thiết tiết diện thẳng góc chỉ áp dụng được khi tỉ lệ chiều cao h và chiều dài dầm h/L nhỏ hơn 1/5 đến 1/10. Ứng suất tiếp và lực cắt Q cũng được thảo luận, cho thấy sự phức tạp của phân tích dầm chịu uốn. Các giả thiết cần thiết để lập lý thuyết gần đúng cho tấm chịu uốn cũng được đề cập, làm nền tảng cho việc xây dựng phương trình vi phân.

Phần này trình bày cách xây dựng bài toán cơ học dựa trên phương pháp năng lượng, bao gồm động năng T và thế năng π. Động năng được xác định bởi khối lượng và vận tốc, trong khi thế năng bao gồm thế năng biến dạng và công của các lực không thế. Nguyên lý thế năng cực tiểu được sử dụng để xác định trạng thái cân bằng. Bài toán biến phân Lagrange (bài toán cực trị có điều kiện) được áp dụng, trong đó mômen uốn M(x) là hàm phân bố theo chiều dài dầm và phải thỏa mãn các điều kiện liên kết ở hai đầu thanh. Nguyên lý công bù cực đại được giới thiệu như một phương pháp khác để xây dựng bài toán cơ học, sử dụng ẩn là các chuyển vị và biến dạng. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn. Luận văn nhấn mạnh sự liên hệ giữa các phương pháp năng lượng và nguyên lý chuyển vị ảo, làm rõ thêm sự thống nhất trong việc xây dựng bài toán cơ học.

Phần này ứng dụng nguyên lý chuyển vị ảo để xác định điều kiện biên của tấm chữ nhật chịu uốn. Nguyên lý chuyển vị ảo được xem là nguyên lý chung nhất trong cơ học, có thể suy ra được các nguyên lý khác. Luận văn chỉ ra rằng nguyên lý này biến bài toán cơ học thành bài toán toán học thuần túy. Việc sử dụng nguyên lý chuyển vị ảo kết hợp với tư tưởng giải phóng liên kết được đề cập như một phương pháp mới để tính toán dầm hữu hạn trên nền đàn hồi, dựa trên lời giải đã biết của dầm vô hạn. Phương trình Lagrange được sử dụng trực tiếp để xây dựng phương trình cân bằng của dầm chịu uốn, cho thấy sự ứng dụng rộng rãi của phương pháp này trong cơ học công trình. Sự kết hợp giữa các phương pháp biến phân và nguyên lý chuyển vị ảo được nhấn mạnh, mở rộng phạm vi ứng dụng của các phương pháp này trong giải quyết bài toán cơ học.

Phần này tập trung vào việc phân tích dầm chịu uốn sử dụng nguyên lý chuyển vị ảo. Mômen uốn, lực cắt, và độ võng là các đại lượng quan trọng được xem xét. Các giả thiết về dầm chịu tải phân bố, phân tố dầm chịu uốn, và các nội lực phân tố được sử dụng để đơn giản hóa bài toán. Độ cong của dầm được liên hệ với độ võng. Luận văn nhấn mạnh điều kiện áp dụng giả thiết tiết diện thẳng góc (h/L < 1/5:1/10), và giải thích sự phân bố ứng suất tiếp trên tiết diện dầm, dẫn đến lực cắt tác dụng lên trục dầm. Điều kiện biên cho các trường hợp liên kết khác nhau (khớp, ngàm, tự do) được trình bày rõ ràng, tạo nền tảng cho việc giải quyết các bài toán cụ thể. Đối với bài toán động lực học, nguyên lý D’Alembert được đề cập đến, cho thấy sự mở rộng của phương pháp đối với các trường hợp phức tạp hơn.

Phần này áp dụng nguyên lý chuyển vị ảo để phân tích tấm mỏng chịu uốn. Luận văn trình bày cách xây dựng phương trình vi phân cho tấm chịu uốn dựa trên các giả thiết của Kirchhoff: mặt trung hòa không biến dạng khi uốn, các điểm trên tấm vẫn nằm trên đường vuông góc với mặt trung bình sau khi uốn, và ứng suất pháp tuyến vuông góc với mặt trung bình được bỏ qua. Phương trình vi phân được xây dựng bằng phương pháp xét cân bằng phân tố, xem xét sự biến thiên của mômen uốn, mômen xoắn, và lực cắt khi tọa độ x và y thay đổi. Điều kiện biên được xem xét kỹ lưỡng, bao gồm tải trọng tác động lên mặt trên và mặt dưới của tấm và các điều kiện trên cạnh tấm. Luận văn đề cập đến công trình của Lagrange (năm 1811) và phương trình Sophie-Germain. Thomson và Tait, cũng như Kirchhoff, được nhắc đến khi thảo luận về việc giảm số điều kiện biên cần thiết cho cạnh tự do của tấm. Điều kiện biên cho cạnh tự do được trình bày chi tiết, nhấn mạnh sự cần thiết của việc hiểu rõ các điều kiện này để giải bài toán một cách chính xác.

Phần này giới thiệu lời giải cho bài toán dầm dài vô hạn trên nền đàn hồi, làm nền tảng cho việc tính toán dầm hữu hạn sau này. Các phương pháp giải truyền thống, như giả định hàm độ võng là hàm sin, cos, hoặc đa thức, và tìm biểu thức đường đàn hồi từ điều kiện dừng của phiếm hàm, được đề cập. Luận văn đề cập đến việc sử dụng nguyên lý chuyển vị ảo để xây dựng phương trình vi phân cân bằng cho dầm vô hạn trên nền đàn hồi. Phản lực từ nền đàn hồi với cường độ ky được xem xét. Việc tìm kiếm một phương pháp giải khác với phương pháp thông số ban đầu được nhấn mạnh, tạo động lực cho việc phát triển phương pháp mới được đề xuất trong phần tiếp theo. Đây là bước chuẩn bị quan trọng, cung cấp công cụ và kiến thức cần thiết để giải quyết bài toán phức tạp hơn là dầm hữu hạn trên nền đàn hồi.

Phần này trình bày một phương pháp mới để tính toán dầm hữu hạn trên nền đàn hồi, dựa trên lời giải của dầm vô hạn đã được thiết lập ở phần trước. Phương pháp này sử dụng tư tưởng giải phóng liên kết: một đoạn dầm hữu hạn được tách ra từ dầm vô hạn. Lực tác dụng lên dầm và các phản lực liên kết (mômen M01, M02, lực cắt Q01, Q02) và phản lực nền (ky0) được tính toán dựa trên lời giải dầm vô hạn. Luận văn nhấn mạnh vào việc sử dụng lời giải của dầm vô hạn để đơn giản hóa việc tính toán dầm hữu hạn. Phương pháp này được xem là một cách tiếp cận mới, khác với phương pháp thông số ban đầu, và mang lại hiệu quả trong việc tính toán nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồi. Khái niệm 'bài toán đúng' (bài toán correct) – có nghiệm duy nhất và ổn định – được nhắc đến, nhấn mạnh tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp này.

Kết luận đầu tiên nhấn mạnh vai trò quan trọng của phép tính biến phân như một công cụ toán học hữu ích trong cơ học. Khi kết hợp với các nguyên lý biến phân, phép tính biến phân cho phép ta thu được các phương trình cân bằng của hệ cơ học và các điều kiện biên chính xác. Điều này dẫn đến việc giải được 'bài toán đúng' (bài toán correct), tức là bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định. Phép tính biến phân, vì vậy, đóng vai trò then chốt trong việc đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của kết quả phân tích. Khả năng cung cấp các phương trình cân bằng và điều kiện biên chính xác làm cho phép tính biến phân trở thành một công cụ không thể thiếu trong các nghiên cứu cơ học tiên tiến.

Kết luận này nhấn mạnh vai trò của nguyên lý chuyển vị ảo như một nguyên lý cơ bản và quan trọng nhất trong cơ học. Khác với các nguyên lý khác, nguyên lý chuyển vị ảo xem các chuyển vị ảo (biến dạng ảo) là độc lập với lực tác dụng. Theo Gauss, mọi nguyên lý khác đều có thể suy ra từ nguyên lý chuyển vị ảo, chứng tỏ tính tổng quát và tầm quan trọng của nó. Nguyên lý này đã biến bài toán cơ học phức tạp thành bài toán toán học thuần túy, đơn giản hóa quá trình giải quyết bài toán và tăng tính hiệu quả. Sự tổng quát và tính đơn giản hóa của nguyên lý chuyển vị ảo được nhấn mạnh, khẳng định vị trí trung tâm của nó trong lý thuyết cơ học.

Kết luận cuối cùng trình bày một phương pháp mới được đề xuất trong luận văn để tính toán dầm hữu hạn trên nền đàn hồi. Phương pháp này dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo và tư tưởng giải phóng liên kết, tận dụng lời giải đã biết của bài toán dầm vô hạn trên nền đàn hồi để đơn giản hóa tính toán. Đây là một đóng góp đáng kể của luận văn, mở ra hướng tiếp cận mới hiệu quả hơn trong việc giải quyết bài toán phức tạp này. Sự kết hợp giữa nguyên lý chuyển vị ảo và tư tưởng giải phóng liên kết cho thấy sự sáng tạo và hiệu quả của phương pháp này, góp phần làm rõ thêm ranh giới giữa cơ học giải tích và cơ học công trình.